波動の数学的性質
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物理波、または 機械的な波 、ひも、地殻、ガスや流体の粒子など、媒体の振動によって形成されます。波には、波の動きを理解するために分析できる数学的特性があります。この記事では、物理学の特定の状況でそれらを適用する方法ではなく、これらの一般的な波動特性を紹介します.
横波と縦波
機械波には2つのタイプがあります。
A は、媒体の変位が、媒体に沿った波の進行方向に対して垂直 (横) になるようなものです。波がそれに沿って移動するように周期的な動きで弦を振動させることは、海の波と同様に横波です。
あ 縦波 媒体の変位が波自体と同じ方向に沿って前後するようなものです。空気の粒子が進行方向に沿って押し出される音波は、縦波の例です。
この記事で説明する波は媒体内の移動に言及しますが、ここで紹介する数学は非機械的な波の特性を分析するために使用できます。たとえば、電磁放射は空の空間を通過できますが、それでも他の波と同じ数学的特性を持っています。たとえば、 音波のドップラー効果 は有名ですが、似たようなものがあります。 光波のドップラー効果 であり、同じ数学的原理に基づいています。
波の原因は？
- 波は、一般に静止している平衡状態の周りの媒体の乱れと見なすことができます。この擾乱のエネルギーが波動の原因です。水たまりは波がないときは平衡状態にありますが、その中に石を投げ込むとすぐに粒子の平衡が乱れ、波動が始まります。
- 波動の乱れ、または 宣伝する 、と呼ばれる一定の速度で 波速 ( の ）。
- 波はエネルギーを運びますが、問題ではありません。メディア自体は移動しません。個々の粒子は、平衡位置の周りで前後または上下に動きます。
波動関数
波動を数学的に説明するために、次の概念を参照します。 波動関数 、任意の時点での媒体内の粒子の位置を記述します。波動関数の最も基本的なものは正弦波、または正弦波です。 周期波 (つまり、反復運動を伴う波)。
波動関数は物理的な波動を表しているのではなく、平衡位置を中心とした変位のグラフであることに注意することが重要です。これは紛らわしい概念かもしれませんが、有用なことは、正弦波を使用して、円を描く動きや振り子を振るなどのほとんどの周期的な動きを表すことができるということです。モーション。
波動関数の性質
- 波長 ( l ) - 波の連続する繰り返しの対応する位置にある任意の 2 点間の距離、つまり (たとえば) ある山または谷から次の山までの距離 SI単位 メートルの。
1 Hz = 1 サイクル/秒 = 1 秒-1
上記の量を定義する際に役立つ方程式は次のとおりです。
の = l / T = l fおー = 2 p f = 2 円周率 / T
T = 1 / へ = 2 円周率 / おー
k = 2 円周率 / おー
おー = vk
波上の点の垂直位置、 よ 、水平位置の関数として見つけることができます。 バツ 、そして時間、 t 、それを見ると。この作業を行ってくれた親切な数学者に感謝し、波動を記述する次の有用な方程式を取得します。
よ ( x、t ) = あ それなし おー ( t - バツ / の ) = あ なし 2 p f ( t - バツ / の )よ ( x、t ) = あ なし 2 円周率 ( t / T - バツ / の )
Y( x、t ) = あ それなし （ あら - kx )
波の方程式
波動関数の最後の特徴は、 微積分 二次導関数を取ると、 波動方程式 、これは興味をそそられ、時には便利な製品です (もう一度、数学者に感謝し、証明せずに受け入れます):
d 2 よ / DX 2= (1 / の 2) d 2 よ / dt 2
の二次導関数 よ に関して バツ の二次導関数に等しい よ に関して t 波速の二乗で割ります。この方程式の重要な有用性は、 それが発生するたびに、関数が よ 波の速度で波として機能します の したがって、 状況は波動関数を使用して記述できます .