代数学の歴史

1911 百科事典の記事

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アラビア語に由来する「代数」という言葉のさまざまな派生語は、さまざまな作家によって与えられています。この言葉の最初の言及は、9 世紀初頭に活躍したマホメド ベン ムサ アル クワリズミ (ホヴァレズミ) の作品のタイトルに見られます。完全なタイトルは ilm al-jebr wa'l-muqabala, これには、返還と比較、反対と比較、または解決と均衡のアイデアが含まれています。 代数 動詞から派生した ジャバラ、 再会すること、そして 対決、 から 各個に 等しくすること。 （根っ子 ジャバラ という言葉にも出くわす 代数から、 これは「ボーンセッター」を意味し、スペインでは今でも一般的に使用されています.) 同じ派生が Lucas Paciolus によって与えられています ( ルカ・パチョリ ）、音訳された形でフレーズを再現する人 代数とアルムカバラ、 そして芸術の発明はアラビア人に帰する。

他の作家は、アラビア語粒子から単語を派生させました に (定冠詞)、および ガーバー、 「男」を意味します。しかし、Geber はたまたま 11 世紀か 12 世紀頃に活躍した有名なムーア人の哲学者の名前だったので、彼は代数の創始者であると考えられてきました。この点に関するピーター・ラムス (1515-1572) の証拠は興味深いものですが、彼は彼の特異な陳述に対して何の権威も与えていません。彼の序文で 2冊の算数と同数の代数の本 (1560) 彼は次のように述べている。ゲーベルはシリア語で男性に適用される名前であり、時には私たちの間でマスターまたはドクターとしての名誉用語です.シリア語で書かれた彼の代数をアレキサンダー大王に送り、彼はそれに名前を付けたある学識のある数学者がいました。 アルムカバラ、 つまり、他の人がむしろ代数の教義と呼んでいる、暗いまたは神秘的なものの本です。今日に至るまで、この本は東洋諸国の学識ある人々の間で高く評価されており、この芸術を育むインディアンによって、 アルジャブラ と 夜明け; 著者自身の名前は知られていませんが。これらの陳述の不確実な権威と、前述の説明の妥当性により、文献学者は、 に と ジャバラ。 ロバート・レコーデ ヴィッテの砥石 (1557) バリアントを使用 藻類、 一方、ジョン・ディー (1527-1608) は次のように断言しています。 アルギーバー、 そしてそうではない 代数、 は正しい形式であり、アラビアのアビセンナの権威にアピールします。

「代数」という用語は現在では普遍的に使用されていますが、ルネッサンス期のイタリアの数学者は、他のさまざまな呼称を使用していました。したがって、パシオルスがそれを呼んでいることがわかります l'Arte Magiore; ditta dal vulgar la Regula de la Cosa over Alghebra e Almucabala. 名前 主な芸術、 より大きな芸術は、それを区別するように設計されています マイナーアート、 より少ない芸術、彼が現代の算術に適用した用語。彼の 2 番目のバリアントは、 物の規制、 物事のルールまたは未知の量、イタリアでは一般的に使用されていたようで、単語 もの coss または algebra、cossic または algebraic、cossist または algebraist などの形式で数世紀にわたって保存されました。他のイタリア人作家はそれを 法の支配と国勢調査 物と積の法則、根と平方の法則。この式の根底にある原理は、代数における彼らの達成の限界を測定したという事実におそらく見出されるだろう. なぜなら彼らは二次方程式や二乗よりも高い次数の方程式を解くことができなかったからである.

Franciscus Vieta (Francois Viete) が名付けました。 怪しげな算数、 含まれる量の種類のために、彼はそれをさまざまなアルファベット文字で象徴的に表現しました。サー・アイザック・ニュートンは、数値ではなく一般的な記号に影響を与える操作の教義に関係しているため、普遍的な算術という用語を導入しました。

これらおよび他の特異な呼称にもかかわらず、ヨーロッパの数学者は古い名前を固守しており、それによって主題は現在広く知られています.

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このドキュメントは、百科事典の 1911 年版の代数に関する記事の一部であり、ここ米国では著作権が失効しています。この記事はパブリック ドメインにあり、必要に応じてこの作品をコピー、ダウンロード、印刷、および配布することができます。 .

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芸術や科学の発明を特定の年齢や人種に明確に割り当てることは困難です。過去の文明から私たちに伝えられたいくつかの断片的な記録は、彼らの知識の全体を表していると見なされるべきではなく、科学や芸術の省略は、科学や芸術が知られていないことを必ずしも意味するものではありません.以前は代数の発明をギリシア人に帰属させるのが慣習であったが、アイゼンローによるリンド パピルスの解読以来、この見解は変化した。特定の問題 --- ヒープ (hau) とその 7 番目が 19 になる --- は、単純な方程式を解く必要があるため、解決されます。しかし、アーメスは他の同様の問題で彼の方法を変えています。この発見により、代数の発明は紀元前 1700 年頃までさかのぼります。

エジプト人の代数は最も初歩的な性質を持っていた可能性が高く、それ以外の場合は、ギリシャのエアロメーターの作品にその痕跡が見られると予想される.ミレトスのタレス (紀元前 640 年 - 紀元前 546 年) が最初でした。著述家の多忙さと著書の数にもかかわらず、彼らの幾何学的定理と問題から代数的分析を抽出しようとする試みはすべて実を結ばず、彼らの分析は幾何学的であり、代数との親和性がほとんどまたはまったくなかったことは一般的に認められています。代数に関する論文に近づく最初の現存する作品は、紀元 350 年頃に活躍したアレクサンドリアの数学者ディオファントス (q.v.) によるものです。序文と 13 冊の本からなる原本は現在失われていますが、ラテン語の翻訳があります。最初の 6 冊の本とアウクスブルクの Xylander (1575) による多角形に関する別の断片、および Gaspar Bachet de Merizac (1621-1670) によるラテン語とギリシャ語の翻訳。他の版も出版されており、その中でピエール フェルマー (1670 年) の T.L. ヒース (1885) と P. タナリー (1893-1895)。 1 人のディオニュシオスに捧げられたこの作品の序文で、ディオファントスは自分の記法を説明し、指数の和に従って、2 乗、3 乗、4 乗、デュナミス、キュバス、ダイナモディムスなどの名前を付けています。彼が言う未知のもの 算術、 番号、およびソリューションでは、最後の s でマークします。彼は累乗の生成、単純量の乗法と除法の規則を説明していますが、複合量の加法、減法、乗法、除法については扱っていません。彼はその後、方程式を単純化するためのさまざまな手法について議論し、現在でも一般的に使用されている方法を示しています。作品の本文では、彼は自分の問題を単純な方程式に還元する際にかなりの創意工夫を示しています。方程式は、直接的な解決策を認めるか、不定方程式として知られるクラスに分類されます。この後者のクラスについて彼は非常に熱心に議論したので、それらはしばしばディオファントス問題として知られ、それらを解決する方法はディオファントス分析 (方程式、不確定を参照) として知られています。停滞。彼は以前の作家にお世話になった可能性が高いが、彼は言及を省略し、その作品は現在失われている。とはいえ、この研究では、代数は、完全ではないにしても、ギリシア人にはほとんど知られていなかったと仮定する必要があります。

ギリシア人の後を継いでヨーロッパの主要な文明勢力となったローマ人は、文学的および科学的宝物を蓄えることができませんでした。数学はほとんど無視されていました。そして、算術計算のいくつかの改善を超えて、記録される重要な進歩はありません。

私たちの主題の時系列的な発展において、私たちは今、東洋に目を向けなければなりません。インドの数学者の著述の調査は、ギリシア人とインド人の心の根本的な違いを示してきた.天文学に役立つ場合を除いて、幾何学は無視されていたことがわかります。三角法は進歩し、代数はディオファントスの達成をはるかに超えて改善されました。

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私たちが確かな知識を持っている最初のインドの数学者は、私たちの時代の6世紀の初め頃に活躍したAryabhattaです.この天文学者で数学者の名声は、彼の業績にかかっています。 アリヤバッティヤム、 その第 3 章は数学に専念しています。著名な天文学者、数学者、バスカラの学者であるガネッサは、この研究を引用し、 カッタカ （「粉砕機」）、不定方程式の解をもたらすための装置。ヘンリー・トーマス・コールブルック (Henry Thomas Colebrooke) は、ヒンズー科学の最も初期の現代の研究者の 1 人であり、アリヤバッタの論文は二次方程式、1 次の不定方程式、そしておそらく 2 次の決定方程式に拡張されたと推定している。と呼ばれる天文学的な作品 スーリヤ・シッダーンタ (「太陽の知識」) は、著者が不確かで、おそらく 4 世紀または 5 世紀のものであり、ヒンズー教徒によって大きな価値があると見なされ、約 1 世紀後に栄えたブラマグプタの作品に次いで 2 番目にランク付けされました。アリヤバッタより前の時代のインドの数学に対するギリシア科学の影響を示しているため、歴史研究者にとって非常に興味深いものです。数学が最高レベルに達した約 1 世紀の間隔の後、Brahmagupta (b. A.D. 598) が栄え、彼の作品は Brahma-sphuta-siddhanta (「ブラフマーの改訂されたシステム」) と題され、数学に捧げられたいくつかの章が含まれています。他のインドの作家としては、ガニタサラ (「計算の真髄」) の著者であるクリダーラと、代数の著者であるパドマナーバについて言及することができます。

その後、数世紀の間、インドの精神は数世紀にわたる停滞期にあったように思われる。 Bhaskara Acarya に言及します。 シッダンタ・チロマニ (「Diadem of anastronomical System」) は 1150 年に書かれ、Lilavati (「美しい [科学または芸術]」) と Viga-ganita (「根の抽出」) という 2 つの重要な章が含まれています。代数。

の数学の章の英訳 ブラフマ・シッダーンタ と シッダンタ・チロマニ H. T. コールブルック (1817) と スーリヤ・シッダーンタ W. D. Whitney (1860) による注釈付きの E. Burgess 著を参照してください。

ギリシア人がヒンズー教徒から代数を借用したのか、それともその逆なのかという問題は、多くの議論の対象となってきました。ギリシャとインドの間で絶え間ない往来があったことは疑いの余地がなく、生産物の交換にはアイデアの移転が伴う可能性が非常に高い. Moritz Cantor はディオファントス法、特に不定方程式のヒンズー教の解法の影響を疑っています。特定の技術用語はおそらくギリシア語に由来します。これがどうであれ、ヒンズーの代数学者がディオファントスよりもはるかに先を行っていたことは確かです。ギリシャの象徴主義の欠陥は部分的に改善されました。減算は、減算の上にドットを置くことによって示されました。掛け算。factom の後に bha (bhavita の省略形、「積」) を付けます。割る。除数を被除数の下に置く。量の前に ka (カラナの省略形、無理数) を挿入して平方根を計算します。未知のものは yavattavat と呼ばれ、いくつかある場合、最初のものはこの名称を取り、他のものは色の名前で指定されました。たとえば、x は ya で示され、y は ka で示されていました ( トラック、 黒）。

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ディオファントスの考えに対する顕著な改善は、ヒンズー教徒が 2 次方程式の 2 つの根の存在を認識していたという事実に見出すことができますが、負の根については解釈が見つからなかったため、不十分であると考えられていました。また、彼らはより高次の方程式の解の発見を予期していたと考えられています。ディオファントスが優れた分析分野である不定方程式の研究が大きく進歩しました。しかし、ディオファントスが単一の解決策を得ることを目指したのに対し、ヒンズー教徒は、不確定な問題を解決できる一般的な方法を求めて努力しました。彼らは方程式 ax(+ または -)by=c、xy=ax+by+c (Leonhard Euler によって再発見されたため)、および cy2=ax2+b の一般的な解を得たため、これで完全に成功しました。最後の方程式の特定のケース、つまり y2=ax2+1 は、現代の代数学者のリソースに非常に負担をかけました。これは、ピエール ド フェルマーがベルンハルト フレニクル ド ベッシーに提案し、1657 年にはすべての数学者に提案しました。John Wallis と Lord Brounker は、1658 年に公開された退屈な解を共同で取得し、その後 1668 年に John Pell によって彼の Algebra で公開されました。解決策は、彼の関係でフェルマーによっても与えられました。ペルは解法とは何の関係もありませんでしたが、ブラフマンの数学的成果を認めて、後世はこの方程式をペルの方程式、または問題と呼んでいます。

ヘルマン・ハンケルは、ヒンズー教徒が数から大きさへ、またはその逆へと移行する準備ができていることを指摘しました。この不連続から連続への移行は真に科学的ではありませんが、代数の発展を実質的に増強しました。ハンケルは、代数を有理数と無理数または大きさの両方への算術演算の適用と定義すると、ブラフマンは代数の真の発明者.

マホメットの刺激的な宗教的プロパガンダによる7世紀のアラビアの分散した部族の統合は、これまで無名だった人種の知的な力の流星のような上昇を伴いました.アラブ人はインドとギリシャの科学の守護者となり、ヨーロッパは内部の不和によって引き裂かれました。アッバース朝の支配下で、バグダッドは科学思想の中心地となりました。インドとシリアから医師と天文学者が宮廷に集まった。ギリシア語とインド語の写本が翻訳されました (カリフのマメン (813-833) によって開始され、その後継者によって巧みに継続された作品)。そして約1世紀の間に、アラブ人はギリシャとインドの学問の膨大な蓄えを所有することになった。 Euclid's Elements は、Harun-al-Rashid (786-809) の治世に最初に翻訳され、Mamun の命令によって改訂されました。しかし、これらの翻訳は不完全であると見なされ、Tobit ben Korra (836-901) が満足のいく版を作成する必要がありました。プトレマイオスの アルマゲスト、 アポロニウス、アルキメデス、ディオファントスの作品、およびブラフマシダンタの一部も翻訳されました。最初の著名なアラビア人数学者は、マムンの治世に活躍したマホメド ベン ムサ アル クワリズミでした。代数と算術に関する彼の論文 (後半部分は 1857 年に発見されたラテン語訳の形でのみ現存) には、ギリシア人とヒンズー教徒が知らなかったものは何も含まれていません。ギリシャの要素が優勢で、両方の人種の方法に関連する方法を示しています。代数に専念する部分にはタイトルがあります アル・ジュール・ワルムカバラ、 算術は「Spoken has Algoritmi」で始まり、Khwarizmi または Hovarezmi という名前が Algoritmi という単語に渡され、さらに現代的な単語 algorism および algorithm に変換され、計算方法を意味します。

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トビト ベン コラ (836-901) は、メソポタミアのハランで生まれ、熟達した言語学者、数学者、天文学者であり、さまざまなギリシャ語の著者の翻訳で際立った貢献をしました。友好数 (q.v.) の性質と角度の三等分の問題に関する彼の調査は重要です。研究の選択において、アラビア人はギリシア人よりもヒンズー教徒によく似ていた。彼らの哲学者は、思弁的な論文と、より進歩的な医学の研究を融合させました。彼らの数学者は、円錐曲線とディオファントス解析の機微を無視し、数のシステム (NUMERAL を参照)、算術と天文学 (q.v.) を完成させることに特に力を注ぎました。人種の才能は天文学と三角法に授けられました (q.v.)。11 世紀の初め頃に活躍した Fahri des al Karbi は、代数学に関する最も重要なアラビア語の著作の著者です。彼はディオファントスの方法に従います。不定方程式に関する彼の研究は、インドの方法とは似ておらず、ディオファントスから収集できないものは何も含まれていません。彼は二次方程式を幾何学的にも代数的にも解き、x2n+axn+b=0; の形式の方程式も解きました。彼はまた、最初の n 個の自然数の和と、それらの 2 乗と 3 乗の和の間の特定の関係を証明しました。

三次方程式は、円錐曲線の交点を決定することによって幾何学的に解かれました。球を平面で所定の比率を持つ 2 つのセグメントに分割するというアルキメデスの問題は、アル マハニによって最初に 3 次方程式として表現され、最初の解はアブ ガファル アル ハジンによって与えられました。与えられた円に内接または外接することができる正七角形の辺の決定は、より複雑な方程式に縮小され、Abul Gud によって最初に解決されました。方程式を幾何学的に解く方法は、11 世紀に活躍したホラーサーンのオマル・ハイヤームによってかなり発展しました。この著者は、純粋な代数によって 3 次方程式を解き、幾何学によって双 2 次方程式を解く可能性に疑問を投げかけました。彼の最初の主張は 15 世紀まで反証されませんでしたが、2 番目の主張は x4=a と x4+ax3=b の形式を解くことに成功した Abul Weta (940-908) によって破棄されました。

三次方程式の幾何学的な解決の基礎はギリシア人に帰せられるべきですが (エウトキオスがメナエクムスに方程式 x3=a と x3=2a3 を解く 2 つの方法を割り当てたからです)、アラブ人によるその後の発展は 1 つと見なされなければなりません。彼らの最も重要な成果の。ギリシャ人は孤立した例を解決することに成功しました。アラブ人は、数値方程式の一般解を達成しました。

アラビアの作家が主題を扱ったさまざまなスタイルに、かなりの注意が向けられてきました。 Moritz Cantor は、かつて 2 つの学派が存在していたことを示唆しています。そして、後者の著作が最初に研究されたが、それらはより明白なギリシャの方法のために急速に破棄されたため、後のアラビアの作家の間で、インドの方法は事実上忘れられ、彼らの数学は本質的にギリシャの性格になった.

西洋のアラブ人に目を向けると、同じように悟りを開いた精神が見られます。スペインのムーア帝国の首都であるコルドバは、バグダッドと同じくらい学問の中心地でした。知られている最古のスペイン人数学者はアル マドシュリッティ (d. 1007) であり、その名声は友好的な数に関する論文と、コルドヤ、ダマ、グラナダで彼の生徒によって設立された学校に基づいています。一般にゲベルと呼ばれるセビリアのガビル ベン アッラーは、著名な天文学者であり、明らかに代数に熟練していました。

ムーア帝国が衰退し始めたとき、彼らが 3 世紀から 4 世紀の間に非常に豊富に育んできた輝かしい知的才能は弱体化し、その後、7 世紀から 11 世紀の作家に匹敵する作家を生み出すことができませんでした。

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