ベクトル数学入門
タチアナ・コレスニコワ/ゲッティイメージズ
これは基本的なものですが、ベクトルを扱うための入門書です。ベクトルは、変位、速度、加速度から力や場に至るまで、さまざまな方法で現れます。この記事は、ベクトルの数学に専念しています。特定の状況での適用については、別の場所で説明します。
ベクトルとスカラー
あ ベクトル量 、 また ベクター 、大きさだけでなく量の方向に関する情報も提供します。家への道順を示す場合、10 マイル先にあると言うだけでは十分ではありませんが、情報を有効にするには、それらの 10 マイルの方向も提供する必要があります。ベクトルである変数は太字の変数で示されますが、変数の上に小さな矢印で示されるベクトルがよく見られます。
他の家が -10 マイル離れているとは言わないのと同じように、ベクトルの大きさは常に正の数、またはベクトルの「長さ」の絶対値です (量は長さではないかもしれませんが、速度、加速度、力などの場合があります) ベクトルの前の負の値は、大きさの変化ではなく、ベクトルの方向の変化を示します。
上記の例では、距離はスカラー量 (10 マイル) ですが、 変位 はベクトル量 (北東 10 マイル) です。同様に、速度はスカラー量ですが、速度は ベクター 量。
あ 単位ベクトル は大きさが 1 のベクトルです。単位ベクトルを表すベクトルも通常は太字ですが、カラット ( ^ ) の上に、変数の単位の性質を示します。単位ベクトル バツ 、カラットで書かれた場合、カラットは変数の帽子のように見えるため、一般に「x-hat」と読み取られます。
の ゼロ ベクトル 、 また ヌル ベクトル 、大きさがゼロのベクトルです。次のように書かれています 0 記事上で。
ベクトル コンポーネント
ベクトルは一般に座標系に基づいており、最も一般的なのは 2 次元デカルト平面です。デカルト平面には、x とラベル付けされた水平軸と y とラベル付けされた垂直軸があります。物理学におけるベクトルの高度な応用には、軸が x、y、および z である 3 次元空間を使用する必要があります。この記事では主に 2 次元のシステムを扱いますが、概念はあまり問題なく 3 次元に拡張することができます。
多次元座標系のベクトルは、次のように分割できます。 成分ベクトル . 2 次元の場合、これにより、 x-コンポーネント そして y 成分 .ベクトルをそのコンポーネントに分割すると、ベクトルはコンポーネントの合計になります。
ふ = ふバツ + ふよ
シータ ふバツふよふ
ふバツ / ふ = cos シータ と ふよ / ふ =なし シータ それは私たちに与えます
ふバツ = ふ コス シータ と ふよ = ふ それなし シータ
ここでの数値はベクトルの大きさであることに注意してください。コンポーネントの方向はわかっていますが、大きさを見つけようとしているので、方向情報を取り除き、これらのスカラー計算を実行して大きさを計算します。三角法をさらに適用して、これらの量のいくつかに関連する他の関係 (接線など) を見つけることができますが、今のところはそれで十分だと思います。
何年もの間、学生が学ぶ唯一の数学はスカラー数学です。北に 5 マイル、東に 5 マイル移動すると、10 マイル移動したことになります。スカラー量を追加すると、方向に関するすべての情報が無視されます。
ベクトルの操作方法は多少異なります。それらを操作するときは、常に方向を考慮する必要があります。
コンポーネントの追加
2 つのベクトルを追加すると、ベクトルを取得して端から端まで配置し、始点から終点までの新しいベクトルを作成したかのようになります。ベクトルが同じ方向を持っている場合、これはマグニチュードを追加することを意味しますが、それらが異なる方向を持っている場合は、より複雑になる可能性があります.
以下のように、ベクトルをコンポーネントに分割してからコンポーネントを追加することで、ベクトルを追加します。
a + b = c
aバツ + aよ + bバツ + bよ =
( aバツ + bバツ ) + ( aよ + bよ ) = cバツ + cよ
2 つの x 成分は新しい変数の x 成分になり、2 つの y 成分は新しい変数の y 成分になります。
ベクトル加算の性質
ベクトルを追加する順序は重要ではありません。実際、スカラー加算のいくつかのプロパティは、ベクトル加算にも当てはまります。
ベクトル加算の恒等性
a + 0 = a
ベクトル加算の逆性質
a + - a = a - a = 0
ベクトル加算の反射特性
a = a
可換性 ベクトル加算の
a + b = b + a
ベクトル加算の結合性
( a + b ) + c = a + ( b + c )
ベクトル加算の推移性
もしも a = b と c = b 、 それから a = c
ベクトルに対して実行できる最も簡単な操作は、スカラーを乗算することです。このスカラー乗算は、ベクトルの大きさを変更します。つまり、ベクトルを長くしたり短くしたりします。
負のスカラーを乗算すると、結果のベクトルは反対方向を指します。
の スカラー積 2 つのベクトルを乗算してスカラー量を取得する方法です。これは、2 つのベクトルの乗算として記述され、中央のドットは乗算を表します。そのため、しばしば呼ばれます。 内積 2 つのベクトルの。
2 つのベクトルの内積を計算するには、それらの間の角度を考慮します。言い換えれば、それらが同じ開始点を共有した場合、角度の測定値はどうなるでしょうか ( シータ ） それらの間の。内積は次のように定義されます。
a * b = ab コス シータ
ab アバ
ベクトルが垂直な場合 (または シータ = 90 度)、cos シータ ゼロになります。したがって、 垂直ベクトルの内積は常にゼロです .ベクトルが 平行 （また シータ = 0 度)、cos シータ は 1 なので、スカラー積は単に大きさの積です。
これらのきちんとした小さな事実を使用して、コンポーネントを知っていれば、(2 次元) 方程式を使用してシータの必要性を完全に排除できることを証明できます。
a * b = aバツbバツ + aよbよ
の ベクトル積 の形で書かれています a バツ b 、通常は 外積 2 つのベクトルの。この場合、ベクトルを乗算して、スカラー量を取得する代わりに、ベクトル量を取得します。これは、これから扱うベクトル計算の中で最も難しいものです。 いいえ 交換可能であり、恐ろしいものの使用を伴います 右手の法則 、すぐに説明します。
マグニチュードの計算
再び、同じ点から引いた 2 つのベクトルを考えます。角度は次のとおりです。 シータ それらの間の。私たちは常に最小の角度を取るので、 シータ は常に 0 から 180 の範囲であり、結果が負になることはありません。結果のベクトルの大きさは、次のように決定されます。
もしも c = a バツ b 、 それから c = ab それなし シータ
平行 (または反平行) ベクトルのベクトル積は常にゼロです
ベクトルの方向
ベクトル積は、これら 2 つのベクトルから作成された平面に対して垂直になります。平面がテーブル上で平らであると想像すると、結果のベクトルが上に行くか (私たちの視点からはテーブルの「外」)、下に (または私たちの視点からはテーブルの「中に」) 移動するかが問題になります。
恐ろしい右手の法則
これを理解するためには、いわゆる 右手の法則 .学校で物理を勉強していたとき、 嫌われた 右手の法則。使用するたびに、本を引き出して、その仕組みを調べなければなりませんでした。うまくいけば、私の説明は、私が紹介されたものよりも少し直感的になります.
あなたが持っている場合 a バツ b 右手を長さに沿って置きます b 指 (親指を除く) が曲がって指し示すことができるようにします。 a .言い換えれば、あなたは角度をつけようとしているのです。 シータ 右手の手のひらと 4 本の指の間。この場合、親指は真っ直ぐ上に突き出ています (または、コンピューターに近づけようとすると、画面の外に出ます)。ナックルは、2 つのベクトルの始点に大まかに配置されます。精度は必須ではありませんが、提供する写真がないので、アイデアを理解してもらいたい.
ただし、検討している場合は、 b バツ a 、反対のことをします。あなたは右手を添えて a 指をさして b .これをパソコンの画面でやろうとすると無理なので想像力を働かせてください。この場合、想像力豊かな親指がコンピューターの画面を指していることがわかります。それが結果のベクトルの方向です。
右手の法則は、次の関係を示しています。
a バツ b = - b バツ a
キャブ
cバツ = aよbと - aとbよ
cよ = aとbバツ - aバツbと
cと = aバツbよ - aよbバツ
ab cバツcよ c
最後の言葉
より高いレベルでは、ベクトルの操作が非常に複雑になる可能性があります。線形代数などの大学のコース全体で、行列 (この紹介では親切にも避けました)、ベクトル、および ベクトル空間 .このレベルの詳細は、この記事の範囲を超えていますが、これにより、物理教室で行われるほとんどのベクトル操作に必要な基礎が提供されるはずです。物理学をより深く学びたい場合は、学習を進めていくうちに、より複雑なベクトルの概念が紹介されます。