標準正規分布とは

平均と標準偏差が異なる釣鐘曲線は、全体的な形状は同じですが、中心と広がりが異なります。 (C.K.テイラー)

ベルカーブ 統計全体に表示されます。種子の直径、魚のひれの長さ、SAT のスコア、一連の紙の個々のシートの重量などのさまざまな測定値はすべて、グラフ化すると釣鐘曲線を形成します。これらすべての曲線の一般的な形状は同じです。しかし、これらの曲線のいずれかが同じ平均または標準偏差を共有する可能性は非常に低いため、これらの曲線はすべて異なります。標準偏差が大きいベル カーブは幅が広く、標準偏差が小さいベル カーブは細いです。平均値が大きいベル曲線は、平均値が小さいものよりも右にシフトします。

例

これをもう少し具体的にするために、トウモロコシ 500 粒の直径を測定したとしましょう。次に、そのデータを記録、分析、グラフ化します。データ セットはベル カーブのような形をしており、平均が 1.2 cm、標準偏差が 0.4 cm であることがわかります。 500 個の豆で同じことをすると、平均直径が 0.8 cm、標準偏差が 0.04 cm であることがわかります。

これらのデータ セットの両方のベル カーブが上にプロットされています。赤い曲線はトウモロコシのデータに対応し、緑の曲線は豆のデータに対応します。ご覧のとおり、これら 2 つの曲線の中心と広がりは異なります。

これらは明らかに 2 つの異なるベル カーブです。それらは異なるため、その手段と 標準偏差 一致しません。私たちが遭遇する興味深いデータセットは、標準偏差として任意の正の数値を持ち、平均として任意の数値を持つ可能性があるため、実際には、 無限 ベルカーブの数。それは多くの曲線であり、対処するには多すぎます。解決策は何ですか？

非常に特別なベルカーブ

数学の目標の 1 つは、可能な限り一般化することです。いくつかの個別の問題が、1 つの問題の特殊なケースである場合があります。ベル カーブを含むこの状況は、その良い例です。無限のベル カーブを扱うのではなく、それらすべてを 1 つのカーブに関連付けることができます。この特殊な釣鐘曲線は、標準釣鐘曲線または標準正規分布と呼ばれます。

標準的な釣鐘曲線の平均は 0 で、標準偏差は 1 です。他のベル カーブは、単純計算.

標準正規分布の特徴

ベル曲線のすべての特性は、標準正規分布に当てはまります。

• 標準正規分布は、平均がゼロであるだけでなく、中央値と最頻値もゼロです。これが曲線の中心です。
• 標準正規分布は、ゼロでミラー対称性を示します。曲線の半分はゼロの左側にあり、曲線の半分は右側にあります。曲線がゼロの垂直線に沿って折り畳まれた場合、両方の半分は完全に一致します。
• 標準正規分布は 68-95-99.7 ルールに従います。これにより、以下を簡単に推定できます。
  • すべてのデータの約 68% が -1 と 1 の間にあります。
  • すべてのデータの約 95% が -2 と 2 の間にあります。
  • すべてのデータの約 99.7% が -3 から 3 の間にあります。

私たちが気にする理由

この時点で、なぜ標準的なベル カーブを気にする必要があるのか​​と疑問に思うかもしれません。不必要な複雑さのように思えるかもしれませんが、標準的なベル カーブは、統計を続ける上で有益です。

統計学の 1 つのタイプの問題では、遭遇したベル カーブの部分の下にある領域を見つける必要があることがわかります。ベル カーブは、エリアの形状として適切ではありません。四角形ではないですし、 直角三角形 簡単に 面積式 .ベル カーブの部分の領域を見つけるのは難しい場合があります。ベル カーブを標準化しないと、面積を求めるたびに微積分を行う必要があります。曲線を標準化すると、面積を計算するすべての作業が完了します。