独立事象の乗法規則

C.K.テイラー

イベントの確率を計算する方法を知ることは重要です。確率の特定のタイプのイベントは、独立していると呼ばれます。 2 つの独立したイベントがある場合、「これらのイベントが両方とも発生する確率はどれくらいですか?」と尋ねることがあります。この状況では、単純に 2 つの確率を掛け合わせることができます。

独立したイベントに乗算規則を利用する方法を見ていきます。基本を確認した後、いくつかの計算の詳細を確認します。

独立したイベントの定義

独立したイベントの定義から始めます。の 確率 、1 つのイベントの結果が 2 番目のイベントの結果に影響しない場合、2 つのイベントは独立しています。

独立したイベントのペアの良い例は、サイコロを振ってからコインを投げるときです。サイコロの数字は、投げたコインには影響しません。したがって、これら 2 つのイベントは独立しています。

独立していないイベントのペアの例は、双子のセットの各赤ちゃんの性別です。双子が同一の場合、両方とも男性、または両方とも女性になります。

乗算規則のステートメント

独立したイベントの乗算ルールは、2 つのイベントの確率を、両方が発生する確率に関連付けます。ルールを使用するには、独立した各イベントの確率が必要です。これらのイベントが与えられると、乗算ルールは、両方のイベントが発生する確率が、各イベントの確率を乗算することによって求められることを示しています。

掛け算の法則の公式

乗算規則は、数学的表記法を使用すると、述べたり操作したりするのがはるかに簡単になります。

イベントを示す あ と B とそれぞれの確率 P(A) と P(B) .もしも あ と B 独立したイベントの場合:

P(A と B) = P(A) バツ P(B)

この式の一部のバージョンでは、さらに多くの記号が使用されています。 「and」という単語の代わりに、交点記号 ∩ を使用できます。この式は、独立したイベントの定義として使用されることがあります。イベントが独立しているのは、次の場合のみです。 P(A と B) = P(A) バツ P(B) .

乗算規則の使用例 #1

いくつかの例を見て、乗算規則の使用方法を確認します。まず、六面体のサイコロを振ってからコインを投げたとします。これら 2 つのイベントは独立しています。 1が出る確率は1/6です。表が出る確率は1/2です。 1が出る確率 と 表を出すのは 1/6 x 1/2 = 1/12 です。

この結果に懐疑的である場合、この例は十分に小さいため、すべての結果をリストできます: {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), （５、Ｈ）、（６、Ｈ）、（１、Ｔ）、（２、Ｔ）、（３、Ｔ）、（４、Ｔ）、（５、Ｔ）、（６、Ｔ）｝。 12 の結果があり、そのすべてが等しく発生する可能性があることがわかります。したがって、1と表の確率は1/12です。乗算規則は、サンプル空間全体をリストする必要がないため、はるかに効率的でした。

乗算規則の使用例 #2

2 番目の例では、 標準デッキ 、このカードを交換し、山札をシャッフルしてからもう一度引く。次に、両方のカードがキングである確率を尋ねます。描いたので 交換品付き 、これらのイベントは独立しており、乗算規則が適用されます。

最初のカードでキングを引く確率は 1/13 です。 2 回目の抽選でキングが出る確率は 1/13 です。その理由は、最初に描いた王様を差し替えているからです。これらのイベントは独立しているため、乗算ルールを使用して、キングが 2 枚出る確率は次の積 1/13 x 1/13 = 1/169 で与えられることを確認します。

王を交代させなければ、イベントが独立していないという別の状況になるでしょう。 2 枚目のカードでキングを引く確率は、1 枚目のカードの結果に影響されます。