置換ありまたは置換なしのサンプリング

ヘンリー・ホーレンスタイン/ゲッティイメージズ

統計的サンプリング さまざまな方法で実行できます。私たちが使用するサンプリング方法のタイプに加えて、私たちが無作為に選択した個人に具体的に何が起こるかに関連する別の質問があります.サンプリングの際に生じるこの問題は、「個体を選択し、調査対象の属性の測定値を記録した後、その個体をどうするか?」というものです。

次の 2 つのオプションがあります。

• サンプリング元のプールに個人を戻すことができます。
• 私たちは、個人を置き換えないことを選択できます。

これらが 2 つの異なる状況につながることは非常に簡単にわかります。最初のオプションでは、置換により、個体が 2 回目にランダムに選択される可能性が残ります。 2 番目のオプションについては、代替なしで作業している場合、同じ人を 2 回選ぶことは不可能です。この違いが、これらのサンプルに関連する確率の計算に影響することがわかります。

確率への影響

置換を処理する方法が確率の計算に影響することを確認するには、次の質問例を検討してください。から 2 つのエースを引く確率は? スタンダードなトランプ ?

この質問はあいまいです。最初のカードを引くとどうなりますか?デッキに戻しますか、それとも除外しますか?

置換による確率の計算から始めます。エースは 4 枚で合計 52 枚のカードがあるため、エースを 1 枚引く確率は 4/52 です。このカードを入れ替えてもう一度引くと、確率は再び 4/52 になります。これらのイベントは独立しているため、確率を (4/52) x (4/52) = 1/169、つまり約 0.592% 掛けます。

ここで、カードを交換しないことを除いて、これを同じ状況と比較します。最初のドローでエースを引く確率は 4/52 のままです。 2 枚目のカードについては、すでにエースが引かれているものとします。次に、条件付き確率を計算する必要があります。つまり、最初のカードもエースであるとすると、2 番目のエースを引く確率を知る必要があります。

合計 51 枚のカードのうち 3 枚のエースが残っています。したがって、エースを引いた後の 2 番目のエースの条件付き確率は 3/51 です。交換せずに 2 つのエースを引く確率は、(4/52) x (3/51) = 1/221、つまり約 0.425% です。

上記の問題から、置換で何を選択するかが確率の値に関係していることが直接わかります。これらの値が大幅に変更される可能性があります。

人口規模

置換の有無にかかわらず、サンプリングによって確率が実質的に変わらない状況がいくつかあります。人口 50,000 人の都市から無作為に 2 人を選び、そのうち 30,000 人が女性であるとします。

置換でサンプリングすると、最初の選択で女性を選択する確率は 30000/50000 = 60% で与えられます。 2次選考で女性が出る確率は60%です。両方が女性である確率は、0.6 x 0.6 = 0.36 です。

置換なしでサンプリングすると、最初の確率は影響を受けません。 2 番目の確率は 29999/49999 = 0.5999919998... となり、60% に非常に近くなります。両方が女性である確率は、0.6 x 0.5999919998 = 0.359995 です。

確率は技術的には異なりますが、ほぼ区別できないほど近いものです。このため、多くの場合、置換せずにサンプリングしても、各個体の選択を、サンプル内の他の個体から独立しているかのように扱います。

その他のアプリケーション

置換ありまたは置換なしでサンプリングするかどうかを検討する必要がある他の例があります。これの例は ブートストラップ。 この統計手法は、リサンプリング手法の見出しに該当します。

ブートストラップでは、母集団の統計サンプルから始めます。次に、コンピュータ ソフトウェアを使用してブートストラップ サンプルを計算します。言い換えれば、コンピューターは最初のサンプルから置換して再サンプルします。