慣性モーメントの式

の 慣性モーメント オブジェクトの は、固定軸を中心に物理的に回転している剛体に対して計算できる数値です。これは、オブジェクトの物理的な形状とその質量の分布だけでなく、オブジェクトの回転方法の特定の構成にも基づいています。したがって、異なる方法で回転する同じオブジェクトは、状況ごとに異なる慣性モーメントを持つことになります。

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一般式

慣性モーメントを求める一般式。 アンドリュー・ジマーマン・ジョーンズ

一般式は、慣性モーメントの最も基本的な概念の理解を表しています。基本的に、回転する物体の場合、 慣性 回転軸から各粒子までの距離をとることで計算できます( r 式で)、その値を 2 乗します (つまり、 r ²ターム)、それを乗じて 質量 その粒子の。回転するオブジェクトを構成するすべてのパーティクルに対してこれを行い、それらの値を合計すると、慣性モーメントが得られます。

この式の結果、同じオブジェクトでも、回転方法に応じて異なる慣性モーメント値が得られます。オブジェクトの物理的な形状が同じままであっても、新しい回転軸は最終的に異なる式になります。

この式は、慣性モーメントを計算するための最も「強引な」アプローチです。提供されている他の式は、通常、より有用であり、物理学者が遭遇する最も一般的な状況を表しています。

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総合フォーミュラ

一般式は、オブジェクトを合計できる離散点の集合として扱うことができる場合に役立ちます。ただし、より複雑なオブジェクトの場合は、適用する必要がある場合があります 微積分 ボリューム全体にわたって積分を行います。変数 r 半径です ベクター ポイントから回転軸まで。式 p ( r ) は、各点における質量密度関数です。 r:

I-sub-P は、量 m-sub-i に r-sub-i の 2 乗を掛けた 1 から N までの i の合計に等しくなります。

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ソリッドスフィア

質量を持ち、球の中心を通る軸上で回転する固体球 M と半径 R 、次の式で決定される慣性モーメントがあります。

私 = (2/5) 氏 ²

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中空薄肉球

質量のある、球の中心を通る軸上で回転する無視できるほど薄い壁を持つ中空の球。 M と半径 R 、次の式で決定される慣性モーメントがあります。

私 = (2/3) 氏 ²

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ソリッド シリンダー

円柱の中心を通る軸を中心に回転する中実の円柱で、質量 M と半径 R 、次の式で決定される慣性モーメントがあります。

私 = (1/2) 氏 ²

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中空薄肉円筒

円筒の中心を通る軸を中心に回転する無視できるほど薄い壁を持つ中空の円筒で、質量 M と半径 R 、次の式で決定される慣性モーメントがあります。

私= 氏 ²

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中空シリンダー

質量のある、円筒の中心を通る軸を中心に回転する中空の円筒 M 、内径 R ₁、および外部半径 R ₂、次の式で決定される慣性モーメントがあります。

私 = (1/2) M ( R ₁²+ R ₂²)

ノート： この式を取って設定すると R ₁= R ₂= R (または、より適切には、数学的極限を次のように取りました。 R ₁と R ₂共通半径に近づく R )、中空の薄肉円筒の慣性モーメントの公式が得られます。

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長方形プレート、中心を通る軸

質量のある、プレートの中心に垂直な軸を中心に回転する薄い長方形のプレート M および辺の長さ a と b 、次の式で決定される慣性モーメントがあります。

私 = (1/12) M ( a ²+ b ²)

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長方形プレート、エッジに沿った軸

質量のある、プレートの 1 つのエッジに沿った軸を中心に回転する薄い長方形のプレート M および辺の長さ a と b 、 どこ a は回転軸に垂直な距離で、慣性モーメントは次の式で決定されます。

私 = (1/3) と ²

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スレンダーロッド、軸スルーセンター

棒の中心を通る軸 (棒の長さに垂直) を中心に回転する細い棒で、質量があります。 M と長さ L 、次の式で決定される慣性モーメントがあります。

私 = (1/12) ML ²

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スレンダーロッド、軸は片端

棒の端を通る軸 (長さに垂直) を中心に回転する細い棒で、質量があります。 M と長さ L 、次の式で決定される慣性モーメントがあります。

私 = (1/3) ML ²