逆、対正、逆とは何ですか?

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条件文はいたるところに現れます。数学やその他の分野では、次のような形に出くわすのにそれほど時間はかかりません。 P それから Q .条件文は確かに重要です。また重要なのは、元の条件ステートメントの位置を変更することによって関連するステートメントです。 P 、 Q そして発言の否定。元のステートメントから始めて、converse、contrapositive、および 逆 .

否定

条件文の逆、対正、逆を定義する前に、否定のトピックを検討する必要があります。のすべてのステートメント 論理 true または false のいずれかです。ステートメントの否定は、ステートメントの適切な部分以外に単語を挿入するだけです。 not という言葉の追加は、ステートメントの真偽を変更するために行われます。

例を見ると役立ちます。ステートメント 直角三角形 is equallateral has negation 直角三角形は正三角形ではありません。 10 の否定は偶数です。つまり、10 は偶数ではありません。もちろん、この最後の例では、奇数の定義を使用して、代わりに 10 が奇数であると言うことができます。ステートメントの真は、否定の真逆であることに注意してください。

この考えをより抽象的な設定で検討します。声明のとき P は真ですが、ステートメントはそうではありません P は偽です。同様に、 P は偽、その否定はそうではありません P 本当です。否定は通常、チルダ ~ で表されます。だから、そうではなく書く代わりに P 〜を書くことができます P .

コンバース、コントラポジティブ、インバース

これで、条件ステートメントの逆、対正、逆を定義できます。条件文Ifから始めます P それから Q .

• 条件文の逆は If Q それから P .
• 条件文の対極は If not Q そうではない P .
• 条件文の逆は If not P そうではない Q .

これらのステートメントがどのように機能するかを例で見ていきます。条件文から始めると仮定すると、昨夜雨が降った場合、歩道は濡れています。

• 条件ステートメントの逆は、歩道が濡れている場合、昨夜雨が降った.
• 条件文の対義語は、歩道が濡れていない場合、昨夜は雨が降っていません。
• 条件ステートメントの逆は、昨夜雨が降らなかった場合、歩道は濡れていません。

論理的等価性

最初のステートメントからこれらの他の条件ステートメントを作成することがなぜ重要なのか疑問に思うかもしれません。上記の例を注意深く見ると、何かが明らかになります。元のステートメント「昨夜雨が降った場合、歩道は濡れている」が真であるとします。同様に真でなければならない他のステートメントはどれですか?

• その逆 歩道が濡れている場合、昨夜雨が降ったとは限りません。他の理由で歩道が濡れている可能性があります。
• 逆に、昨夜雨が降らなかった場合、歩道が濡れていないというのは必ずしも真実ではありません。繰り返しますが、雨が降っていないからといって、歩道が濡れていないわけではありません。
• 対極 歩道が濡れていない場合、昨夜は雨が降らなかったというのは本当のステートメントです。

この例からわかること (そして数学的に証明できること) は、条件付きステートメントはその対比と同じ真偽値を持つということです。これら 2 つのステートメントは論理的に同等であると言います。また、条件付きステートメントは、その逆および逆と論理的に同等ではないこともわかります。

条件付きステートメントとその対比は論理的に同等であるため、数学的な定理を証明するときにこれを有利に使用できます。条件付きステートメントの真偽を直接証明する代わりに、そのステートメントの対偶の真偽を証明する間接証明戦略を使用できます。論理的等価性により、対極が真である場合、元の条件文も真であるため、対極証明が機能します。

たとえ converse と inverse は、元の条件文と論理的に等価ではありません 、それらは互いに論理的に同等です。これには簡単な説明があります。条件文Ifから始めます Q それから P .このステートメントの対義語は If not P そうではない Q .逆は逆の対正であるため、逆と逆は論理的に等価です。