数学と統計学における階乗 (!) を理解する

マトマ/ゲッティイメージズ

数学では、記号は 英語での特定の意味 非常に専門的で異なるものを意味する場合があります。たとえば、次の式を考えてみましょう。

3！

いいえ、使用しませんでした 感嘆符 3つに興奮していることを示すためであり、最後の文を強調して読むべきではありません.数学では、式 3! 'three factorial' と読まれ、実際には複数の連続した整数の掛け算を表す簡単な方法です。

数学や統計学では数を掛け合わせる必要がある場所がたくさんあるので、階乗は非常に便利です。それが現れる主な場所のいくつかは、組み合わせ論と確率です 微積分 .

意味

階乗の定義は、任意の正の整数に対して n 、階乗：

n ! = n x (n -1) x (n - 2) x . . . ×2×1

小さな値の例

最初に、次の値が小さい階乗の例をいくつか見ていきます。 n :

• 1！ = 1
• 2！ = 2 × 1 = 2
• 3！ = 3 × 2 × 1 = 6
• 4！ = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 5！ = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• 6！ = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
• 7！ = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
• 8！ = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9！ = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10！ = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3628800

ご覧のとおり、階乗は非常に急速に大きくなります。 20など、小さく見えるかもしれない何か！実際には19桁です。

階乗は簡単に計算できますが、計算がやや​​面倒です。幸いなことに、多くの電卓には階乗キーがあります (! 記号を探してください)。電卓のこの機能は、乗算を自動化します。

特殊なケース

階乗のもう 1 つの値で、上記の標準的な定義が当てはまらないものは、次の値です。 ゼロ階乗 .式に従うと、0! の値には到達しません。 0 より小さい正の整数はありません。いくつかの理由から、0 を定義するのが適切です。 = 1. この値の階乗は、特に次の式に現れます。 組み合わせと順列 .

より高度な計算

計算を扱うときは、電卓の階乗キーを押す前に考えることが重要です。 100!/98! などの式を計算するにはこれにはいくつかの方法があります。

1 つの方法は、 電卓 両方を見つけるには 100!と 98! を 1 つずつ割ります。これは直接的な計算方法ですが、いくつかの問題があります。電卓の中には、100 もの大きな式を処理できないものがあります。 = 9.33262154 × 10¹⁵⁷. (式 10¹⁵⁷は、1 の後に 157 個のゼロを掛けることを意味する科学表記法です。) この数は膨大であるだけでなく、実際の値である 100 の推定値にすぎません!

ここで見たような階乗を使って式を単純化する別の方法では、電卓はまったく必要ありません。この問題にアプローチする方法は、100 を書き換えることができることを認識することです! 100 x 99 x 98 x 97 x ではありません。 . . x 2 x 1 ですが、代わりに 100 x 99 x 98 です!式 100!/98! (100 x 99 x 98!)/98! になります。 = 100 × 99 = 9900。