0 の階乗が 1 に等しいのはなぜですか?

ゼロ階乗は、値のないデータ セットを配置する方法の数を表す数式であり、1 に等しくなります。一般に、 階乗 of a number は、その数値よりも小さいが 0 よりも大きい各数値をその数値に掛ける乗算式を簡単に記述する方法です。 4！たとえば、= 24 は 4 x 3 x 2 x 1 = 24 と同じですが、階乗数 (4) の右側に感嘆符を使用して同じ式を表します。

これらの例から、以上の整数の階乗を計算する方法は明らかです。 1に等しい 、しかし、ゼロを掛けたものはすべてゼロに等しいという数学的規則にもかかわらず、ゼロ階乗の値が 1 になるのはなぜですか?

階乗の定義では、0! = 1. これは通常、この方程式を初めて見たときに人々を混乱させますが、ゼロ階乗の定義、順列、および式を見ると、これが理にかなっている理由を以下の例で説明します。

ゼロ階乗の定義

0 の階乗が 1 に等しい最初の理由は、これが定義がそうあるべきだと言っていることであり、これは数学的に正しい説明です (多少満足のいく説明ではありません)。それでもなお、階乗の定義は元の数値以下の値のすべての整数の積であることを覚えておく必要があります。つまり、階乗とは、その数値以下の数値で可能な組み合わせの数です。

ゼロはそれよりも小さい数はありませんが、それでもそれ自体が数であるため、そのデータセットを配置できる方法の可能な組み合わせは 1 つだけです。それはできません。これはまだそれを配置する方法としてカウントされるため、定義により、0 の階乗は 1 と同じように 1 に等しくなります!このデータセットの可能な配置は 1 つしかないため、 は 1 です。

これが数学的にどのように理にかなっているのかをよりよく理解するために、これらのような階乗は、順列とも呼ばれるシーケンス内の情報の可能な順序を決定するために使用されることに注意することが重要です。空またはゼロ セットの場合でも、そのセットを配置する方法は 1 つあります。

順列と階乗

あ 順列 セット内の要素の特定の一意の順序です。たとえば、次の 6 つの方法でこれらの要素を記述することができるため、3 つの要素を含むセット {1, 2, 3} の 6 つの順列があります。

• 1、2、3
• 1、3、2
• 2、3、1
• 2、1、3
• 3、2、1
• 3、1、2

この事実は、式 3 からも表すことができます。 = 6、これは順列の完全なセットの階乗表現です。同様に、4つあります！ = 4 つの要素と 5 つのセットの 24 の順列! = 5 つの要素を持つセットの 120 順列。したがって、階乗について考える別の方法は、 n を自然数とし、 n !は、セットの順列の数です n 要素。

階乗についてのこの考え方で、さらにいくつかの例を見てみましょう。セット 2つの要素を持つ もっている 2 つの順列 : {a, b} は、a、b または b、a として配置できます。これは2に相当します！ = 2. セット {1} の要素 1 は一方向にしか順序付けできないため、要素が 1 つのセットには順列が 1 つあります。

これにより、階乗がゼロになります。要素がゼロの集合は、 空集合 .ゼロ階乗の値を見つけるために、次のように質問します。ここで、少し考えを広げる必要があります。注文するものは何もありませんが、これを行う方法は 1 つあります。したがって、0 です。 = 1。

数式とその他の検証

0 の定義のもう 1 つの理由! = 1 は、順列と組み合わせに使用する式に関係しています。これは、ゼロ階乗が 1 である理由を説明していませんが、0 を設定する理由を示しています! = 1 は良い考えです。

組み合わせは、順序に関係なくセットの要素をグループ化したものです。たとえば、セット {1, 2, 3} を考えてみましょう。この場合、3 つの要素すべてからなる 1 つの組み合わせがあります。これらの要素をどのように配置しても、最終的には同じ組み合わせになります。

を使用しております 組み合わせの公式 一度に 3 つ取得した 3 つの要素の組み合わせで、1 = ハ (3, 3) = 3!/(3! 0!) となり、0! を扱うとを未知数として代数的に解くと、3 であることがわかります。 0! = 3!そして0！ = 1。

定義が 0! である理由は他にもあります。 = 1 は正しいですが、上記の理由が最も単純です。数学の全体的な考え方は、新しいアイデアと定義が構築されたとき、それらは他の数学と一貫性を保つということです。これは、0 階乗が 1 に等しいという定義にまさに見られるものです。