組み合わせの式を導き出す方法
PeopleImages.com /ゲッティイメージズ
教科書に印刷された公式や教師が黒板に書いた公式を見た後、これらの公式の多くがいくつかの基本的な定義と慎重な考えから導き出されることに驚くことがあります。これは、組み合わせの式を調べる場合の確率に特に当てはまります。この式の導出は、実際には掛け算の原理に依存しています。
乗算の原理
実行するタスクがあり、このタスクが合計 2 つのステップに分割されているとします。最初のステップは k 方法と2番目のステップはで行うことができます n 方法。これは、その後乗算これらの数を合わせると、タスクを実行する方法の数は そのような .
たとえば、10 種類のアイスクリームと 3 つの異なるトッピングがある場合、1 つのスクープで 1 つのトッピングのサンデーをいくつ作ることができますか? 3 を 10 倍すると、30 個のサンデーが得られます。
順列の形成
ここで、乗算の原理を使用して、の組み合わせの数の式を導き出します。 r のセットから取得された要素 n 要素。させて P(n,r) の数を表す 順列 の r のセットからの要素 n と C(n,r) の組み合わせの数を表す r のセットからの要素 n 要素。
の順列を形成するときに何が起こるかを考えてください r 合計からの要素 n .これを 2 段階のプロセスと考えてください。まずはセットを選ぶ r のセットからの要素 n .これは組み合わせであり、 C （n、r）これを行う方法。プロセスの 2 番目のステップは、注文することです。 r 要素 r 最初の選択肢、 r - 2番目の選択肢は1つ、 r - 3 番目に 2 つ、最後から 2 番目に 2 つ、最後に 1 つ。乗算原理により、 r バツ （ r -1) × . . . × 2 × 1 = r !これを行う方法。この式は 階乗表記 .
式の導出
要点をまとめると、 P ( n 、 r )、順列を形成する方法の数 r 合計からの要素 n によって決定されます。
- の組み合わせを形成する r 合計からの要素 n のいずれかで C ( n 、 r ） 方法
- これらの注文 r 要素のいずれか r !方法。
乗算原理により、順列を形成する方法の数は P ( n 、 r ) = C ( n 、 r ） バツ r !.
順列の式の使用 P ( n 、 r ) = n !/( n - r )!、これは上記の式に代入できます。
n !/( n - r ）！ = C ( n 、 r ) r !.
これを解いて、組み合わせの数、 C ( n 、 r ）、そしてそれを見てください C ( n 、 r ) = n !/[ r !( n - r )!].
示されているように、少しの思考と代数が大いに役立ちます。確率と統計の他の式も、定義を注意深く適用することで導き出すことができます。