微積分とは定義と実際のアプリケーション

数学研究の変化率

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微積分は、変化率の研究を含む数学の一分野です。微積分が発明される前は、すべての数学は静的でした。完全に静止しているオブジェクトの計算にしか役立ちませんでした。しかし、宇宙は絶えず動き、変化しています。宇宙の星から体内の亜原子粒子や細胞に至るまで、常に静止している物体はありません。実際、宇宙のほぼすべてのものは常に動いています。微積分は、粒子、星、物質が実際にどのように動き、リアルタイムで変化するかを判断するのに役立ちました。

微積分は、通常その概念を利用するとは考えられない多くの分野で使用されています。その中には、物理​​学、工学、経済学、統計学、医学があります。微積分は、宇宙旅行などのさまざまな分野でも使用されているだけでなく、薬物が身体とどのように相互作用するか、さらにはより安全な構造を構築する方法を決定する.微積分の歴史と、微積分が何を実行し、測定するように設計されているかについて少し知っていれば、微積分が非常に多くの分野で役立つ理由を理解できます。

重要ポイント: 微積分の基本定理

• 微積分は、変化率の研究です。
• 17 世紀の数学者であるゴットフリート ライプニッツとアイザック ニュートンは、微積分を独自に発明しました。ニュートンが最初に発明しましたが、今日の数学者が使用する表記法はライプニッツが作成しました。
• 微積分には 2 つのタイプがあります。微分微積分は量の変化率を決定し、積分微積分は変化率がわかっている量を見つけます。

微積分を発明したのは誰ですか?

微積分は、17 世紀後半に 2 人の数学者、ゴットフリート ライプニッツと アイザック・ニュートン .ニュートンは最初に微積分を開発し、それを物理システムの理解に直接適用しました。独立して、ライプニッツは微積分で使用される表記法を開発しました。簡単に言えば、基本的な数学がプラス、マイナス、時間、および除算 (+、-、​​x、および ÷) などの演算を使用するのに対し、微積分は使用する演算を使用します。 関数と積分 変化率を計算します。

これらのツールにより、ニュートン、ライプニッツ、および従った他の数学者は、任意の点での曲線の正確な勾配などを計算することができました. 数学の話 ニュートンの微積分の基本定理の重要性を説明しています。

「ギリシア人の静的な幾何学とは異なり、微積分により、数学者やエンジニアは、惑星の軌道や流体の動きなど、私たちの周りの変化する世界の動きと動的な変化を理解することができました。」

微積分を使用して、科学者、天文学者、物理学者、数学者、化学者は、惑星や星の軌道だけでなく、電子や陽子の経路を原子レベルで図表化できるようになりました。

微分対積分

微積分には、微分積分と積分微積分の 2 つの分野があります。マサチューセッツ工科大学は、「微分計算は、導関数と積分計算の研究であり、積分です」と述べています。しかし、それだけではありません。微分計算は、量の変化率を決定します。勾配と曲線の変化率を調べます。

このブランチは、特に導関数と微分を使用して、変数に関する関数の変化率の研究に関係しています。導関数は、グラフ上の線の傾きです。を計算して直線の傾きを求めます。 ランの上に上がる .

積分計算 対照的に、変化率がわかっている量を見つけようとします。このブランチは、接線の傾きや速度などの概念に焦点を当てています。微分計算が曲線自体に焦点を当てているのに対し、積分計算はそれ自体が空間または面積に関係しています。 下 曲線。積分法は、長さ、面積、体積などの合計サイズまたは値を計算するために使用されます。

微積分は、 ナビゲーションの開発 船員が月の位置を使用して現地時間を正確に決定できるようになったため、17 世紀と 18 世紀に使用されました。海で自分の位置を測るために、ナビゲーターは時間と角度の両方を正確に測定できる必要がありました。微積分学が開発される前は、船の航海士と船長はどちらもできませんでした。

微積分 - 導関数と積分の両方 - は、地球の曲線、特定の場所に到達するために船が曲線を一周しなければならない距離、さらには地球と海の位置合わせに関するこの重要な概念の理解を深めるのに役立ちました、および星に関連する船。

実用的なアプリケーション

微積分には、実生活で多くの実用的なアプリケーションがあります。いくつかの 微積分を使用する概念 運動、電気、熱、光、高調波、音響、天文学が含まれます。微積分は、地理学、コンピューター ビジョン (自動車の自動運転など)、写真、人工知能、ロボット工学、ビデオ ゲーム、さらには映画でも使用されています。微積分は、化学における放射性物質の崩壊率の計算、さらには出生率と死亡率の予測、さらには重力と惑星運動、流体の流れ、船の設計、幾何学的曲線、および橋梁工学の研究にも使用されます。

たとえば、物理学では、運動、電気、熱、光、高調波、音響、天文学、力学を定義、説明、計算するために微積分が使用されます。アインシュタインの相対性理論は、企業や業界がどれだけの利益を上げることができるかを経済学者が予測するのにも役立つ数学の分野である微積分に依存しています。そして、 造船 、計算は、船体の曲線（微分計算を使用）と船体の下の領域（積分計算を使用）の両方を決定するために長年使用されており、船の一般的な設計でも使用されてきました。

さらに、微積分は、統計、解析幾何学、代数などのさまざまな数学的分野の答えを確認するために使用されます。

経済学における微積分

エコノミストは微積分を使用して、供給、需要、および最大の潜在的利益を予測します。結局のところ、需要と供給は基本的に曲線上に描かれ、常に変化する曲線です。

経済学者は微積分を使って 需要の価格弾力性 .彼らは、絶え間なく変化する需給曲線を「弾力性」と呼び、曲線の動きを「弾力性」と呼んでいます。需要曲線または供給曲線の特定の時点での弾力性の正確な測定値を計算するには、価格の非常に小さな変化について考え、その結果、数学的導関数を弾力性の公式に組み込む必要があります。微積分を使用すると、絶え間なく変化する需要と供給の曲線上の特定のポイントを決定できます。

ソース

「微積分のまとめ」マサチューセッツ工科大学、2000 年 1 月 10 日、マサチューセッツ州ケンブリッジ。