1 回のロールで Yahtzee の大きなストレートが出る確率

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Yahtzee は、5 つの標準的な 6 面ダイスを使用するサイコロ ゲームです。各ターンで、プレイヤーはいくつかの異なる目的を達成するために 3 つのロールを与えられます。各サイコロを振った後、プレイヤーはどのサイコロ (もしあれば) を保持し、どのサイコロを再ロールするかを決定できます。目標にはさまざまな種類の組み合わせが含まれており、その多くはポーカーから取られています。さまざまな種類の組み合わせごとに、さまざまなポイントの価値があります。

プレーヤーがロールしなければならない組み合わせの 2 つのタイプは、 ストレート ：スモールストレートとラージストレート。ポーカー ストレートと同様に、これらの組み合わせは連続したサイコロで構成されます。小さいストレートは 5 つのサイコロのうち 4 つを使用し、大きいストレートは 5 つのサイコロすべてを使用します。サイコロの転がりはランダムであるため、確率を使用して、1 回のロールで大きなストレートが出る可能性を分析できます。

仮定

使用されるサイコロは公平で、互いに独立していると仮定します。したがって、5 つのサイコロのすべての可能なロールからなる均一なサンプル空間があります。 Yahtzee では 3 回のロールが可能ですが、簡単にするために、1 回のロールで大きなストレートが得られる場合のみを考えます。

サンプルスペース

私たちは ユニフォーム サンプル空間 、私たちの確率の計算は、いくつかの数え上げ問題の計算になります。ストレートの確率は、ストレートを転がす方法の数をサンプル空間の結果の数で割ったものです。

サンプル空間内の結果の数を数えるのは非常に簡単です。 5 つのサイコロを振っていますが、これらのサイコロはそれぞれ 6 つの異なる結果のいずれかになります。乗算原理の基本的なアプリケーションは、サンプル空間が 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 であることを示しています。⁵= 7776 の結果。この数は、確率に使用するすべての分数の分母になります。

ストレートの数

次に、大きなストレートを転がす方法がいくつあるかを知る必要があります。これは、サンプル空間のサイズを計算するよりも困難です。これが難しい理由は、数え方がより微妙だからです。

大きいストレートは小さいストレートより転がりにくいですが、小さいストレートを巻く方法よりも大きいストレートを巻く方が数を数えやすいです。このタイプのストレートは、5 つの連番で構成されます。サイコロには 6 つの異なる数字しかないため、可能な大きなストレートは 2 つだけです: {1, 2, 3, 4, 5} と {2, 3, 4, 5, 6}。

ここで、特定のサイコロを振ってストレートを出す方法の数を決定します。ダイスが {1, 2, 3, 4, 5} の大きなストレートの場合、ダイスを任意の順序で並べることができます。したがって、以下は同じストレートを転がすさまざまな方法です。

• 1、2、3、4、5
• 5、4、3、2、1
• 1、3、5、2、4

1、2、3、4、および 5 を取得するために考えられるすべての方法をリストするのは面倒です。これを行うにはいくつの方法があるかを知る必要があるだけなので、いくつかの基本的なカウント手法を使用できます。私たちがやっていることはすべて 並べ替え 5つのサイコロ。 5つあります！ = これを行う 120 の方法。大きなストレートを作るサイコロの組み合わせは2通りあり、それぞれ120通りの振り方があるので、大きなストレートを出す方法は2×120＝240通りある。

確率

これで、大きなストレートが転がる確率は単純な割り算で計算できます。 1 回のロールで大きなストレートが出る方法は 240 通りあり、5 つのサイコロを 7776 回振ることができるため、大きなストレートが出る確率は 240/7776 で、1/32 と 3.1% に近い値になります。

もちろん、最初のロールがストレートではない可能性が高いです。この場合、さらに 2 つのロールが許可され、ストレートになる可能性が高くなります。考えられるすべての状況を考慮する必要があるため、この確率を決定するのははるかに複雑です。