2 元表の変数の独立性の自由度

理由を確認するには ( r - 1)( c - 1) は正しい番号です。この状況をさらに詳しく調べます。カテゴリ変数の各レベルの周辺合計がわかっているとします。つまり、各行の合計と各列の合計がわかります。最初の行には、 c 私たちのテーブルには列があるので、 c 細胞。これらのセルの 1 つを除くすべての値がわかると、すべてのセルの合計がわかるので、残りのセルの値を決定するのは単純な代数問題です。表のこれらのセルに入力している場合、次のように入力できます c - そのうちの 1 つは自由ですが、残りのセルは行の合計によって決まります。したがって、 c - 最初の行の自由度は 1 です。

このようにして次の行を続けます。 c - 自由度 1。このプロセスは、最後から 2 番目の行に到達するまで続きます。最後の行を除く各行が貢献します c - 合計に 1 つの自由度。最後の行を除くすべての行を取得するまでに、列の合計がわかっているため、最後の行のすべてのエントリを決定できます。これにより、 r - 1行 c - これらのそれぞれに 1 自由度、合計 ( r - 1)( c - 1) 自由度。

例

これは、次の例で確認できます。 2 つのカテゴリ変数を持つ 2 元表があるとします。 1 つの変数には 3 つの水準があり、もう 1 つの変数には 2 つの水準があります。さらに、このテーブルの行と列の合計がわかっているとします。

この式は、(3-1)(2-1) = 2 の自由度があることを予測しています。これは次のように見えます。左上のセルに数値 80 を入力するとします。これにより、エントリの最初の行全体が自動的に決定されます。

2 番目の行の最初のエントリが 50 であることがわかっている場合、各行と列の合計がわかっているため、テーブルの残りの部分が埋めら​​れます。

テーブルは完全に埋められていますが、自由に選択できるのは 2 つだけです。これらの値がわかると、テーブルの残りの部分が完全に決定されました。

通常、これほど多くの自由度がある理由を知る必要はありませんが、実際には自由度の概念を新しい状況に適用しているだけであることを知っておくとよいでしょう。