統計と数学の自由度

モンティ・ラクセン/ゲッティイメージズ

統計では、統計分布に割り当てることができる独立した量の数を定義するために自由度が使用されます。この数値は通常、統計問題から欠落している要因を計算する個人の能力に制限がないことを示す正の整数を指します。

自由度は、統計の最終的な計算で変数として機能し、システム内のさまざまなシナリオの結果を決定するために使用されます。自由度の数学では、完全な計算を決定するために必要なドメイン内の次元数を定義します。 ベクター .

自由度の概念を説明するために、標本平均に関する基本的な計算を見ていきます。データのリストの平均を求めるには、すべてのデータを加算して値の総数で割ります。

サンプル平均の図

少しの間、私たちが知っていると仮定します 平均 データ セットの値は 25 であり、このセットの値は 20、10、50、および 1 つの不明な数値です。サンプル平均の式は、次の式を示します。 (20 + 10 + 50 + x)/4 = 25 、 どこ バツ いくつかの基本的なものを使用して、未知のものを示します 代数 、その後、欠落している数を決定できます。 バツ 、は 20 です。

このシナリオを少し変更してみましょう。ここでも、データ セットの平均が 25 であることがわかっていると仮定します。ただし、今回のデータ セットの値は 20、10、および 2 つの未知の値です。これらの未知数は異なる可能性があるため、2 つを使用します。 異なる変数 、 バツ 、 と よ、 これを表すために。結果の式は次のとおりです。 (20 + 10 + x + y)/4 = 25 .いくつかの代数を使用すると、次のようになります。 よ = 70- バツ .式はこの形式で書かれており、値を選択すると バツ 、の値 よ 完全に決まっています。私たちには 1 つの選択肢があり、これはその選択肢があることを示しています。 自由度 .

次に、100 のサンプル サイズを見てみましょう。このサンプル データの平均が 20 であることがわかっていても、どのデータの値もわからない場合、自由度は 99 になります。すべての値は合計で 20 x 100 = 2000 になる必要があります。データ セット内の 99 個の要素の値を取得すると、最後の要素が決定されます。

学生の t スコアとカイ 2 乗分布

を使用する場合、自由度は重要な役割を果たします。 学生 t -スコア表 .実はいくつかある tスコア ディストリビューション。自由度を使用してこれらの分布を区別します。

ここで 確率分布 使用するサンプルのサイズによって異なります。サンプルサイズが n の場合、自由度の数は n -1.たとえば、サンプル サイズが 22 の場合、次の行を使用する必要があります。 t -21自由度のスコアテーブル。

の使用 カイ二乗分布 の使用も必要です 自由度。 ここでは、 tスコア サンプル サイズによって、使用する分布が決まります。サンプルサイズが n 、それからあります n-1 自由度。

標準偏差と高度なテクニック

自由度が現れるもう 1 つの場所は、標準偏差の式です。この発生は明白ではありませんが、どこを見ればよいかを知っていればわかります。に 標準偏差を見つける 平均からの「平均」偏差を探しています。ただし、各データ値から平均を引き、差を二乗すると、 n-1 それよりも n 予想どおりです。

の存在 n-1 自由度の数に由来します。以来、 n データ値とサンプル平均が数式で使用されている場合、 n-1 自由度。

より高度な統計手法では、より複雑な方法で自由度を数えます。の独立したサンプルを使用して 2 つの平均の検定統計量を計算する場合、 n ₁と n ₂要素、自由度の数は非常に複雑な式です。の小さい方を使用して推定できます。 n₁-1 と n₂-1

自由度を数える別の方法の別の例には、 ふ テスト。実施にあたって ふ 私たちが持っているテスト k 各サイズのサンプル n —分子の自由度は k -1 で、分母は k ( n -1)。