3 つのサイコロを振る確率

イゴール・ガリッチ/ EyeEm /ゲッティイメージズ

サイコロは、 確率の概念 .最も一般的に使用されるサイコロは、6 つの面を持つ立方体です。ここでは、標準的なサイコロを 3 つ振る確率を計算する方法を見ていきます。によって得られる合計の確率を計算することは、比較的標準的な問題です。 サイコロを2つ振る .サイコロ 2 個で合計 36 の異なるロールがあり、2 から 12 までの任意の合計が可能です。 サイコロを追加すると、問題はどのように変化しますか?

起こりうる結果と合計

1 つのサイコロに 6 つの結果があり、2 つのサイコロに 6 つの結果があるのと同じように²= 36 の結果、3 つのサイコロを振る確率実験の結果は 6³= 216 の結果。この考えは、より多くのサイコロに対してさらに一般化されます。ロールすれば n サイコロなら6個 ⁿ 結果。

また、複数のサイコロを振って可能な合計を考慮することもできます。合計が最小になるのは、すべてのサイコロが最小の場合、または各サイコロが最小の場合です。これは、サイコロを 3 つ振ったときの合計が 3 になることを意味します。サイコロの最大の数字は 6 です。これは、3 つのサイコロがすべて 6 の場合に合計が最大になることを意味します。この状況の合計は 18 です。

いつ n サイコロを振って、可能な最小の合計は n そして可能な最大の合計は6です n .

• 3 つのサイコロの合計が 3 になる方法は 1 つあります。
• 4 つの 3 つの方法
• 6 対 5
• 10 対 6
• 15 対 7
• 21 対 8
• 25 対 9
• 10分の27
• 27 対 11
• 25 対 12
• 13対21
• 15 対 14
• 15 分の 10
• 16対6
• 17 の 3
• 18分の1

和の形成

上で説明したように、3 つのサイコロの場合、可能な合計には 3 から 18 までのすべての数字が含まれます。確率は次を使用して計算できます。 計数戦略 そして、数値を正確に 3 つの整数に分割する方法を探していることを認識しています。たとえば、3 の合計を取得する唯一の方法は 3 = 1 + 1 + 1 です。各サイコロは他のサイコロから独立しているため、4 などの合計は 3 つの異なる方法で取得できます。

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

さらにカウント引数を使用して、他の合計を形成する方法の数を見つけることができます。各合計のパーティションは次のとおりです。

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

7 = 1 + 2 + 4 のように、3 つの異なる数がパーティションを形成する場合、3 になります。 (3x2x1) さまざまな方法 並べ替え これらの数字。したがって、これはサンプル空間の 3 つの結果にカウントされます。 2 つの異なる数値がパーティションを形成する場合、これらの数値を並べ替える方法は 3 つあります。

特定の確率

各合計を取得する方法の総数を、結果の総数で割ります。 サンプル空間 、または 216。結果は次のとおりです。

• 合計が 3 になる確率: 1/216 = 0.5%
• 合計が 4 になる確率: 3/216 = 1.4%
• 合計が 5 になる確率: 6/216 = 2.8%
• 合計が 6 になる確率: 10/216 = 4.6%
• 合計が 7 になる確率: 15/216 = 7.0%
• 合計が 8 になる確率: 21/216 = 9.7%
• 合計が 9 になる確率: 25/216 = 11.6%
• 合計が 10 になる確率: 27/216 = 12.5%
• 合計が 11 になる確率: 27/216 = 12.5%
• 合計が 12 になる確率: 25/216 = 11.6%
• 合計が 13 になる確率: 21/216 = 9.7%
• 合計が 14 になる確率: 15/216 = 7.0%
• 合計が 15 になる確率: 10/216 = 4.6%
• 合計が 16 になる確率: 6/216 = 2.8%
• 合計が 17 になる確率: 3/216 = 1.4%
• 合計が 18 になる確率: 1/216 = 0.5%

ご覧のとおり、3 と 18 の極端な値の可能性は最も低くなります。ちょうど真ん中にある合計が最も可能性が高いです。これは、2 つのサイコロを振ったときに観察されたものに対応しています。