精密測定における有効数字の使用

CC BY 2.0/Flickr/米陸軍RDECOM

測定を行うときは、 科学者 使用されるツールまたは状況の物理的性質によって制限される、特定のレベルの精度にしか到達できません。最もわかりやすい例は、距離の測定です。

巻尺を使用してオブジェクトが移動した距離を測定するとどうなるかを考えてみましょう (メートル単位)。巻尺は、ミリメートルの最小単位に分解される可能性があります。したがって、ミリ単位を超える精度で測定する方法はありません。したがって、オブジェクトが 57.215493 ミリメートル移動した場合、57 ミリメートル (または、その状況での好みに応じて、5.7 センチメートルまたは 0.057 メートル) 移動したことだけを確実に伝えることができます。

通常、このレベルの丸めは問題ありません。通常サイズのオブジェクトの正確な動きを ミリメートル 実際、かなり印象的な成果になるでしょう。車の動きをミリメートル単位で測定しようとすると想像してみてください。一般に、これは必要ないことがわかります。このような精度が必要な場合は、巻尺よりもはるかに洗練されたツールを使用することになります。

測定における意味のある数の数は、の数と呼ばれます 有効数字 番号の。前の例では、57 ミリの答えは、測定値で 2 つの有効数字を提供します。

ゼロと有効数字

5,200という数字を考えてみましょう。

特に断りのない限り、ゼロ以外の 2 桁のみが有効であると想定するのが一般的な方法です。つまり、この数字は 丸みを帯びた 最も近い百まで。

ただし、数値を 5,200.0 と書くと、有効数字は 5 桁になります。小数点とそれに続くゼロは、 計測 そのレベルまで正確です。

同様に、数値 2.30 は有効数字が 3 桁になります。これは、最後のゼロが、測定を行っている科学者がそのレベルの精度で測定したことを示しているためです。

一部の教科書では、整数の末尾の小数点も有効数字を示すという規則を導入しています。したがって、800. には有効数字が 3 桁あるのに対し、800 には有効数字が 1 桁しかありません。繰り返しますが、これは教科書によって多少異なります。

以下は、概念を固めるのに役立つ、さまざまな有効数字の例です。

有効数字一桁
4
900
0.00002
有効数字2桁
3.7
0.0059
68,000
5.0
有効数字3桁
9.64
0.00360
99,900
8.00
900. (一部の教科書で)

有効数字のある数学

科学図は、数学の授業で紹介されるものとは異なる数学のルールを提供します。有効数字を使用する際の鍵は、計算全体を通して同じレベルの精度を維持していることを確認することです。数学では、結果からすべての数値を保持しますが、科学的な作業では、関連する有効数字に基づいて頻繁に丸めます。

科学データを加算または減算する場合、重要なのは最後の桁 (右端の桁) だけです。たとえば、3 つの異なる距離を追加するとします。

5.324 + 6.8459834 + 3.1

足し算の問題の最初の項には有効数字が 4 桁あり、2 番目の項には 8 桁の有効数字があり、3 番目の項には 2 桁しかありません。この場合、精度は最も短い小数点によって決定されます。したがって、計算を実行しますが、結果は 15.2699834 ではなく 15.3 になります。 測定値 より正確なのは、3 番目は 10 分の 1 位までしかわかりません。したがって、この足し算の問題の結果も、それだけ正確になります。

この場合、最終的な答えには有効数字が 3 桁あることに注意してください。 なし あなたの最初の数の。これは初心者にとって非常に混乱を招く可能性があり、足し算と引き算の性質に注意を払うことが重要です。

一方、科学データの掛け算や割り算では、有効数字の数が重要になります。有効数字を乗算すると、最初に使用した最小の有効数字と同じ有効数字を持つソリューションが常に得られます。それでは、例に進みます。

5.638×3.1

最初の要素には有効数字が 4 桁あり、2 番目の要素には有効数字が 2 桁あります。したがって、解は有効数字 2 桁になります。この場合、17.4778 ではなく 17 になります。あなたは計算を実行します それから 解を正しい有効数字に丸めます。乗算の余分な精度は問題ありません。最終的なソリューションで誤ったレベルの精度を与えたくないだけです。

科学表記法の使用

物理学は、陽子未満のサイズから宇宙のサイズまでの空間領域を扱います。そのため、非常に大きな数と非常に小さな数を扱うことになります。一般に、これらの数値の最初の数個だけが重要です。宇宙の幅をミリメートル単位で測定しようとしている (または測定できる) 人は誰もいません。

ノート

この記事のこの部分では、指数数 (つまり、105、10-8 など) の操作を扱います。読者はこれらの数学的概念を理解していることを前提としています。このトピックは多くの学生にとって扱いにくいものになる可能性がありますが、この記事で取り上げる範囲を超えています。

これらの数値を簡単に操作するために、科学者は 科学表記法 .有効数字がリストされ、必要な累乗に 10 が掛けられます。光の速度は次のように書かれています: [blackquote shade=no]2.997925 x 108 m/s

7 つの有効数字があり、これは 299,792,500 m/s を書くよりもはるかに優れています。

ノート

光の速度は 3.00 x 108 m/s と表記されることが多く、この場合、有効数字は 3 桁しかありません。繰り返しますが、これはどのレベルの精度が必要かという問題です。

この表記法は、乗算に非常に便利です。前述の有効数字の乗算の規則に従い、有効数字の最小数を維持してから、指数の加算規則に従って絶対値を乗算します。次の例は、それを視覚化するのに役立ちます。

2.3×103×3.19×104＝7.3×107

この積には有効数字が 2 つしかなく、103 x 104 = 107 であるため、桁数は 107 です。

科学的表記法を追加することは、状況に応じて、非常に簡単な場合と非常に難しい場合があります。項が同じ大きさのオーダー (つまり、4.3005 x 105 と 13.5 x 105) である場合は、前に説明した加算規則に従い、次のように、最高位の値を丸め位置として保持し、大きさを同じに保ちます。例：

4.3005 × 105 + 13.5 × 105 = 17.8 × 105

ただし、大きさの順序が異なる場合は、次の例のように大きさを同じにするために少し作業する必要があります。ここでは、1 つの項が 105 の大きさで、もう 1 つの項が大きさ 106 です。

4.8×105 + 9.2×106 = 4.8×105 + 92×105 = 97×105
また
4.8×105 + 9.2×106 = 0.48×106 + 9.2×106 = 9.7×106

これらの解はどちらも同じで、答えは 9,700,000 になります。

同様に、正の指数の代わりに負の指数を使用して、非常に小さな数も科学表記法で書かれることがよくあります。電子の質量は次のとおりです。

9.10939×10～31kg

これは、ゼロ、小数点、30 個のゼロ、6 桁の有効数字の順に続きます。誰もそれを書きたがらないので、科学的表記法は私たちの友達です.指数が正か負かに関係なく、上記のルールはすべて同じです。

有効数字の限界

有効数字は、科学者が使用している数値の精度を測定するために使用する基本的な手段です。ただし、関連する丸め処理によって数値にある程度の誤差が生じます。また、非常に高度な計算では、他の統計手法が使用されます。ただし、高校や大学レベルの教室で行われる実質的にすべての物理学では、必要なレベルの精度を維持するには、有効数字を正しく使用するだけで十分です。

最終コメント

有効数字は、最初に学生に紹介されたときに重大な障害となる可能性があります。これは、学生が何年にもわたって教えられてきた基本的な数学的規則の一部が変更されるためです。有効数字の場合、たとえば 4 x 12 = 50 です。

同様に、指数や指数規則に完全に慣れていない可能性のある学生に科学表記法を導入すると、問題が生じる可能性があります。これらは、科学を学ぶすべての人がいつか学ばなければならないツールであり、ルールは実際には非常に基本的なものであることを覚えておいてください.問題は、どのルールがどの時点で適用されるかをほぼ完全に覚えていることです。いつ指数を加算し、いつ減算しますか?小数点を左に移動するときと右に移動するときはいつですか?これらのタスクを練習し続けると、慣れるまで上手になります。

最後に、適切な単位を維持するのは難しい場合があります。センチメートルと メートル 、たとえば、最初にそれらを同じスケールに変換する必要があります。これは初心者によくある間違いですが、他のものと同様に、速度を落とし、注意を払い、自分が何をしているのかを考えることで、非常に簡単に克服できるものです.