平均の信頼区間の例
黒板の先生。
ジェイミー・グリル/ゲッティイメージズ
推論統計の主要部分の 1 つは、計算方法の開発です。 信頼区間 .信頼区間は母集団を推定する方法を提供してくれます パラメータ .パラメータが正確な値に等しいというよりは、パラメータが値の範囲内にあると言います。通常、この値の範囲は推定値であり、推定値に加算または減算する誤差範囲があります。
すべての間隔に付随するのは、信頼度です。信頼水準は、長期的に、信頼区間を取得するために使用された方法が真の母集団パラメーターを取得する頻度の測定値を提供します。
統計について学習するときに、いくつかの例を見てみると役に立ちます。以下では、母平均に関する信頼区間の例をいくつか見ていきます。平均に関する信頼区間を構築するために使用する方法は、母集団に関する詳細情報に依存することがわかります。具体的には、母集団の標準偏差を知っているかどうかによってアプローチが異なります。
問題の説明
特定の種の 25 匹のイモリの単純なランダム サンプルから始めて、尾を測定します。サンプルの尾の長さの平均は 5 cm です。
- 個体群に含まれるすべてのイモリの尾の長さの標準偏差が 0.2 cm であることがわかっている場合、個体群に含まれるすべてのイモリの平均的な尾の長さの 90% 信頼区間は?
- 個体群に含まれるすべてのイモリの尾の長さの標準偏差が 0.2 cm であることがわかっている場合、個体群に含まれるすべてのイモリの平均的な尾の長さの 95% 信頼区間は?
- 0.2 cm がサンプル個体群のイモリの尾の長さの標準偏差であることがわかった場合、個体群内のすべてのイモリの尾の長さの平均の 90% 信頼区間は?
- 0.2 cm がサンプル個体群のイモリの尾の長さの標準偏差であることがわかった場合、個体群内のすべてのイモリの尾の長さの平均の 95% 信頼区間は?
問題の議論
これらの問題のそれぞれを分析することから始めます。最初の 2 つの問題では、 母標準偏差の値を知っている .これら 2 つの問題の違いは、信頼度が #1 よりも #2 の方が高いことです。
次の 2 つの問題では、 母集団の標準偏差は不明です .これら 2 つの問題について、サンプルを使用してこのパラメーターを推定します。 標準偏差 .最初の 2 つの問題で見たように、ここでもさまざまなレベルの信頼度があります。
ソリューション
上記の問題のそれぞれについて、解を計算します。
- 母集団の標準偏差がわかっているので、Z スコアの表を使用します。の値 と 90% 信頼区間に対応する値は 1.645 です。を使用することにより、 許容誤差の式 信頼区間は 5 – 1.645(0.2/5) から 5 + 1.645(0.2/5) です。 (ここで分母の 5 は、25 の平方根をとったためです)。計算を実行すると、母平均の信頼区間として 4.934 cm から 5.066 cm が得られます。
- 母集団の標準偏差がわかっているので、Z スコアの表を使用します。の値 と 95% 信頼区間に対応する値は 1.96 です。誤差範囲の式を使用すると、信頼区間は 5 – 1.96(0.2/5) から 5 + 1.96(0.2/5) になります。計算を実行すると、母平均の信頼区間として 4.922 cm ～ 5.078 cm が得られます。
- ここでは、母集団の標準偏差はわかりません。サンプルの標準偏差だけです。したがって、t スコアの表を使用します。のテーブルを使用する場合 t スコアは、私たちが持っている自由度の数を知る必要があります。この場合、24 の自由度があり、これは標本サイズの 25 より 1 少ないです。 t 90% 信頼区間に対応する値は 1.71 です。誤差範囲の式を使用すると、信頼区間は 5 – 1.71(0.2/5) から 5 + 1.71(0.2/5) になります。計算を実行すると、母平均の信頼区間として 4.932 cm から 5.068 cm が得られます。
- ここでは、母集団の標準偏差はわかりません。サンプルの標準偏差だけです。したがって、ここでも t スコアの表を使用します。 24 の自由度があり、これは標本サイズの 25 より 1 少ないです。 t 95% 信頼区間に対応する値は 2.06 です。誤差の公式を使用すると、5 – 2.06(0.2/5) から 5 + 2.06(0.2/5) の信頼区間が得られます。計算を実行すると、母平均の信頼区間として 4.912 cm ～ 5.082 cm が得られます。
解決策の議論
これらのソリューションを比較する際に注意すべき点がいくつかあります。 1 つ目は、それぞれのケースで、信頼度が上がるにつれて、 と また t 私たちが最終的に得たもの。この理由は、信頼区間で実際に母平均を捉えたことをより確実にするためには、より広い区間が必要だからです。
注意すべき他の機能は、特定の信頼区間について、 t より広いです と .この理由は、 t 分布は、標準の正規分布よりも裾の変動性が大きくなります。
この種の問題を正しく解決するための鍵は、母集団の標準偏差がわかっている場合、次の表を使用することです。 と -スコア。母集団の標準偏差がわからない場合は、次の表を使用します。 t スコア。