平面内の 2 次元キネマティクスまたはモーション

ダニエル・グリル/ゲッティイメージズ

この記事では、関係する加速を引き起こす力に関係なく、2 次元でオブジェクトの動きを分析するために必要な基本的な概念について概説します。この種の問題の例としては、ボールを投げたり砲弾を撃ったりすることが挙げられます。に精通していることを前提としています 一次元運動学 、同じ概念を 2 次元ベクトル空間に拡張するためです。

座標の選択

キネマティクスには、変位、速度、および加速度が含まれますが、これらはすべて ベクトル量 大きさと方向の両方が必要です。したがって、2 次元運動学の問題を開始するには、まず次を定義する必要があります。 座標系 使用しています。一般的には、 バツ -軸と よ -軸は、モーションが正の方向になるように方向付けられますが、これが最適な方法ではない場合もあります。

重力が考慮されている場合、重力の方向をマイナスにするのが通例です。 よ 方向。これは一般的に問題を単純化するための規則ですが、実際に必要な場合は別の方向で計算を実行することもできます。

速度ベクトル

位置ベクトル r は、座標系の原点からシステム内の特定の点に向かうベクトルです。位置の変化 (Δ r 、「デルタ」と発音 r ') は開始点 ( r ₁) からエンドポイント ( r ₂）。を定義します。 平均速度 ( の _の ） なので：

の _の = ( r ₂- r ₁) / ( t ₂- t ₁) = D r /D t

極限をΔとする t 0 に近づくと、 瞬間速度 の .微積分の用語では、これは次の導関数です。 r に関して t 、 また d r / dt .

時間の差が小さくなると、始点と終点が近づきます。の方向から r と同じ方向です の 、それが明らかになる パスに沿ったすべての点での瞬間速度ベクトルは、パスに接しています。 .

速度成分

ベクトル量の便利な特徴は、成分ベクトルに分割できることです。ベクトルの導関数は、そのコンポーネントの導関数の合計です。したがって、次のようになります。

の_バツ = DX / dt
の_よ = あなた / dt

速度ベクトルの大きさは、ピタゴラスの定理によって次の形式で与えられます。

| | の | | = の = 平方根 ( の_バツ ²+ の_よ ²)

の方向 の 向けられている アルファ から反時計回りに度 バツ 成分であり、次の式から計算できます。

それで アルファ = の_よ / の_バツ

加速度ベクトル

加速度 一定時間の速度変化です。上記の分析と同様に、それはΔであることがわかります の /D t .これの極限をΔ t 0 に近づくと、次の導関数が得られます。 の に関して t .

コンポーネントに関しては、加速度ベクトルは次のように記述できます。

a_バツ = DV_バツ / dt
a_よ = DV_よ / dt

また

a_バツ = d ² バツ / dt ²
a_よ = d ² よ / dt ²

マグニチュードと角度 ( ベータ と区別する アルファ ) は、速度の場合と同様の方法でコンポーネントを使用して計算されます。

コンポーネントの操作

多くの場合、2 次元の運動学では、関連するベクトルをそれらのベクトルに分割する必要があります。 バツ - と よ -コンポーネント、次に各コンポーネントを 1 次元のケースであるかのように分析します。この解析が完了すると、速度および/または加速度の成分が再び組み合わされて、結果の 2 次元の速度および/または加速度ベクトルが取得されます。

三次元運動学

上記の方程式はすべて、次の式を追加することで 3 次元の運動に展開できます。 と -分析へのコンポーネント。これは一般にかなり直感的ですが、特にベクトルの方向角の計算に関して、これが適切な形式で行われるように注意する必要があります。

によって編集アン・マリー・ヘルメンスタイン博士