線形方程式系を解く方法

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数学では、線形方程式は 2 つの変数を含み、直線としてグラフにプロットできる方程式です。線形方程式系は、すべて同じ変数セットを含む 2 つ以上の線形方程式のグループです。線形方程式系を使用して、現実世界の問題をモデル化できます。それらは、さまざまな方法を使用して解決できます。

1. グラフ化
2. 代用
3. による消去 添加
4. による消去 引き算

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グラフ化

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グラフ化は、一次方程式系を解く最も簡単な方法の 1 つです。各方程式を線としてグラフ化し、線が交差する点を見つけるだけです。

たとえば、次の変数を含む一次方程式系を考えてみましょう。 バツ と よ :

よ = バツ + 3
よ = -1 バツ - 3

これらの方程式はすでに 勾配切片形式 、簡単にグラフ化できます。方程式が勾配切片形式で記述されていない場合は、最初に単純化する必要があります。それが終わったら、 バツ と よ いくつかの簡単な手順が必要です。

1. 両方の方程式をグラフ化します。

2. 方程式が交差する点を見つけます。この場合、答えは (-3, 0) です。

3. 値を入力して、答えが正しいことを確認します バツ = -3 および よ = 0 を元の方程式に入れます。

よ = バツ + 3
(0) = (-3) + 3
0 = 0

よ = -1 バツ - 3
0 = -1(-3) - 3
0 = 3 - 3
0 = 0

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代用

連立方程式を解くもう 1 つの方法は、代入です。この方法では、基本的に 1 つの方程式を単純化し、それを別の方程式に組み込むことで、未知の変数の 1 つを排除できます。

次の線形方程式系を考えてみましょう。

3 バツ + よ = 6
バツ = 18 -3 よ

2 番目の式では、 バツ すでに隔離されています。そうでない場合は、まず方程式を単純化して分離する必要があります バツ .隔離して バツ 2 番目の式では、次の式を置き換えることができます。 バツ 2 番目の式からの同等の値を持つ最初の式で: (18～3歳) .

1.交換する バツ の与えられた値を持つ最初の式で バツ 2番目の式で。

3 ( 18～3歳 ) + よ = 6

2. 方程式の各辺を単純化します。

54 – 9 よ + よ = 6
54 – 8 よ = 6

3. の方程式を解きます よ .

54 – 8 よ – 54 = 6 – 54
-8 よ = -48
-8 よ /-8 = -48/-8

y = 6

4.プラグイン よ = 6 を解きます バツ .

バツ = 18 -3 よ
バツ = 18 -3(6)
バツ = 18 - 18
バツ = 0

5. (0,6) が解であることを確認します。

バツ = 18 -3 よ
0 = 18 – 3(6)
0 = 18 -18
0 = 0

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加算による消去

与えられた一次方程式が一方に変数、他方に定数で書かれている場合、システムを解く最も簡単な方法は消去法です。

次の線形方程式系を考えてみましょう。

バツ + よ = 180
3 バツ + 2 よ = 414

1. まず、各変数の係数を簡単に比較できるように、方程式を並べて書きます。

2. 次に、最初の式に -3 を掛けます。

-3(x + y = 180)

3. なぜ -3 を掛けたのですか?最初の式を 2 番目の式に追加して調べます。

-3x + -3y = -540
+ 3x + 2y = 414
0 + -1y = -126

これで、変数が削除されました バツ .

4.変数を解く よ :

よ = 126

5.プラグイン よ = 126 を見つける バツ .

バツ + よ = 180
バツ + 126 = 180
バツ = 54

6. (54, 126) が正しい答えであることを確認します。

3 バツ + 2 よ = 414
3(54) + 2(126) = 414
414 = 414

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減算による消去

消去法で解くもう 1 つの方法は、与えられた線形方程式を加算するのではなく、減算することです。

次の線形方程式系を考えてみましょう。

よ - 12 バツ = 3
よ - 5 バツ = -4

1. 方程式を追加する代わりに、それらを減算して除去することができます よ .

よ - 12 バツ = 3
- ( よ - 5 バツ = -4)
0 - 7 バツ = 7

2. を解く バツ .

-7 バツ = 7
バツ = -1

3.プラグイン バツ = -1 を解く よ .

よ - 12 バツ = 3
よ - 12(-1) = 3
よ + 12 = 3
よ = -9

4. (-1, -9) が正しい解であることを確認します。

(-9) - 5(-1) = -4
-9 + 5 = -4
-4 = -4