最小二乗線とは
ベストフィットラインについて学ぶ
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散布図は、表すために使用されるグラフの一種です。対になったデータのセットで探す最も基本的なパターンは、直線のパターンです。任意の 2 点を通って、直線を引くことができます。散布図に 2 つ以上の点がある場合、ほとんどの場合、すべての点を通る線を引くことができなくなります。代わりに、ポイントの中間を通過し、データの全体的な線形トレンドを表示する線を描画します。
グラフの点を見て、これらの点を通る線を引きたいと思うと、疑問が生じます。どの線を引くべきですか？描ける線は無限にあります。目だけを使うと、散布図を見ている人によってわずかに異なる線が生成されることは明らかです。この曖昧さが問題です。誰もが同じラインを取得できる明確な方法を用意したいと考えています。目標は、どの線を引くべきかを数学的に正確に記述することです。最小二乗 回帰直線は、データ ポイントを通るそのような線の 1 つです。
最小二乗
最小二乗線の名前は、それが何をするかを説明しています。 ( で指定された座標を持つ点のコレクションから始めます。 バツ私 、 よ私 ）。直線はこれらの点の間を通り、これらのそれぞれの上または下に行きます。の値を選択することで、これらのポイントからラインまでの距離を計算できます。 バツ そして、観測された よ これに対応する座標 バツ から よ 私たちのラインのコーディネート。
同じ一連の点を通る異なる線は、異なる一連の距離を示します。これらの距離をできる限り小さくしたいと考えています。しかし問題がある。距離は正または負のいずれかになる可能性があるため、これらすべての距離の合計は互いに相殺されます。距離の合計は常にゼロになります。
この問題の解決策は、点と線の間の距離を 2 乗して負の数をすべて取り除くことです。これにより、負でない数のコレクションが得られます。最適な線を見つけるという目標は、これらの二乗距離の合計をできるだけ小さくすることと同じです。ここで微積分が助けになります。微積分の微分プロセスにより、特定の直線からの距離の 2 乗の和を最小化することができます。これは、この行の名前にある最小二乗法というフレーズを説明しています。
最適適合ライン
最小二乗線は線と点の間の二乗距離を最小化するため、この線がデータに最も適合する線であると考えることができます。これが、最小二乗線が最適線としても知られる理由です。描画できる可能性のあるすべての線の中で、最小二乗線が全体としてデータ セットに最も近くなります。これは、ラインがデータ セットのいずれかのポイントにヒットしないことを意味する場合があります。
最小二乗ラインの特徴
すべての最小二乗線が持ついくつかの特徴があります。関心のある最初の項目は、直線の傾きを扱います。斜面は、 相関係数 私たちのデータの。実際、直線の傾きは r(sよ/秒バツ) .ここ sバツ の標準偏差を示します バツ 座標と sよ の標準偏差 よ 私たちのデータの座標。相関係数の符号は、最小二乗直線の傾きの符号に直接関係しています。
最小二乗線のもう 1 つの特徴は、それが通過する点に関するものです。一方、 よ 最小二乗線の切片は、統計的な観点からは興味深いものではないかもしれません.1つのポイントがあります.すべての最小二乗線は、データの中間点を通過します。この中間点には バツ 座標である 平均 の バツ 値と よ の平均である座標 よ 値。