2 つの集合の交点は何ですか?

集合論

影付きの領域は、2 つのセット A と B の交点を表します。C.K.Taylor

扱うとき 集合論 、古いセットから新しいセットを作成する操作がいくつかあります。最も一般的な集合演算の 1 つは、交差と呼ばれます。簡単に言えば、2つの集合の交点 あ と B 両方を満たすすべての要素のセットです あ と B 共通点がある。

集合論における交差に関する詳細を見ていきます。後で見るように、ここでのキーワードは「and」という単語です。

例

2 つのセットの交点がどのように形成されるかの例については、 新しいセット 、セットを考えてみましょう あ = {1, 2, 3, 4, 5} および B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}。これら 2 つのセットの交点を見つけるには、それらに共通する要素を見つける必要があります。数字 3、4、5 は両方のセットの要素であるため、 あ と B {3. 4.5]。

交差点の表記

集合論演算に関する概念を理解することに加えて、これらの演算を表すために使用される記号を読めるようになることが重要です。交差点の記号は、2 つのセットの間の and という単語に置き換えられることがあります。この単語は、一般的に使用される交差点のよりコンパクトな表記法を示唆しています。

2 つのセットの交点に使用される記号 あ と B によって与えられます あ ∩ B .この記号 ∩ が交差点を指すことを覚えておく 1 つの方法は、単語「and」の略である大文字の A に似ていることに注意することです。

この表記の実際の動作を確認するには、上記の例を参照してください。ここにセットがありました あ = {1, 2, 3, 4, 5} および B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}。したがって、集合方程式を書きます あ ∩ B = {3, 4, 5}。

空集合との交点

交点を含む 1 つの基本的な恒等式は、#8709 で示される、任意の集合と空集合との交点を取るとどうなるかを示しています。空集合は要素を持たない集合です。交点を見つけようとしているセットの少なくとも 1 つに要素がない場合、2 つのセットには共通の要素がありません。言い換えれば、任意の集合と 空集合 空集合が得られます。

このアイデンティティは、表記法を使用するとさらにコンパクトになります。私たちはアイデンティティを持っています： あ ∩ ∅ = ∅.

ユニバーサルセットとの交差点

もう一方の極端な例として、集合と普遍集合との交差を調べるとどうなるでしょうか?言葉のやり方に似ている 宇宙 は天文学ですべてを意味するために使用され、ユニバーサル セットにはすべての要素が含まれます。したがって、集合のすべての要素は、普遍集合の要素でもあります。したがって、任意の集合と普遍集合との共通部分は、私たちが始めた集合です。

ここでも、このアイデンティティをより簡潔に表現するために、私たちの表記法が役に立ちます。どのセットにも あ そしてユニバーサルセット の 、 あ ∩ の = あ .

交差点に関係するその他のアイデンティティ

交差演算の使用を伴う、より多くの設定された方程式があります。もちろん、いつでも大丈夫です 練習 集合論の言葉を使って。全セット対象 あ 、 と B と D 我々は持っています：

• 反射特性: あ ∩ あ = あ
• 可換プロパティ: あ ∩ B = B ∩ あ
• 関連プロパティ : ( あ ∩ B ) ∩ D = あ ∩ ( B ∩ D )
• 分配特性: ( あ ∪ B ) ∩ D = ( あ ∩ D )∪( B ∩ D )
• ドモルガンの法則 I: ( あ ∩ B )^ハ= あ ^ハ∪ B ^ハ
• ドモルガンの法則 II: ( あ ∪ B )^ハ= あ ^ハ∩ B ^ハ