集合論

イベント A と B は相互に排他的です。 C.K.テイラー

集合論は、すべての数学の基本的な概念です。この数学の分野は、他のトピックの基礎を形成します。

直感的に、集合は要素と呼ばれるオブジェクトの集まりです。これは単純なアイデアのように思えますが、いくつかの広範囲に及ぶ結果があります。

要素

セットの要素は、実際には何でもかまいません。数字、州、車、人、またはその他のセットでさえ、すべての要素の可能性があります。いくつかの注意点はありますが、集められるものなら何でもセットにできます。

等しいセット

セットの要素は、セット内にあるか、セット内にないかのいずれかです。プロパティを定義することによってセットを説明することも、セット内の要素をリストすることもできます。リストされている順序は重要ではありません。したがって、セット {1, 2, 3} と {1, 3, 2} は、どちらも同じ要素を含むため、等しいセットです。

スペシャルセット2種

2 つのセットは特筆に値します。 1 つ目はユニバーサル セットで、通常は次のように示されます。 の .このセットは、選択できるすべての要素です。このセットは、設定ごとに異なる場合があります。たとえば、1 つのユニバーサル セットは 実数 一方、別の問題では、普遍集合は整数 {0, 1, 2,...} である可能性があります。

注意が必要なもう 1 つのセットは、 空集合 .空集合は一意の集合であり、要素のない集合です。これを { } と書き、この集合を記号 ∅ で表すことができます。

部分集合と累乗集合

セットのいくつかの要素のコレクション あ と呼ばれる サブセット の あ .私たちはそれを言います あ のサブセットです B のすべての要素の場合のみ あ の要素でもあります B .有限数なら n セット内の要素の合計は 2 です ⁿ のサブセット あ .のすべてのサブセットのこのコレクション あ と呼ばれるセットです。 パワーセット の あ .

セット操作

2 つの数に対して加算などの操作を実行して新しい数を取得できるように、集合論の操作を使用して、他の 2 つのセットからセットを形成します。いくつかの操作がありますが、ほぼすべてが次の 3 つの操作で構成されています。

• 連合 – 組合は団結を意味します。セットの結合 あ と B いずれかの要素で構成されています あ また B .
• 交差点 - 交差点は、2 つのものが交わる場所です。セットの交差点 あ と B 両方の要素で構成されています あ と B .
• 補体 - セットの補足 あ の要素ではない普遍集合のすべての要素からなる あ .

ベン図

異なるセット間の関係を表すのに役立つツールの 1 つは、ベン図と呼ばれます。四角形は、問題のユニバーサル セットを表します。各セットは円で表されます。円が互いに重なっている場合、これは 2 つのセットの交点を示しています。

集合論の応用

集合論は数学全体で使用されます。これは、数学の多くのサブフィールドの基礎として使用されます。統計に関する分野では、特に確率で使用されます。確率の概念の多くは、集合論の帰結から派生しています。確かに、 確率公理 集合論を含みます。