パワーセットとは？

での 1 つの質問 集合論 セットが別のセットのサブセットであるかどうかです。のサブセット あ セットのいくつかの要素を使用して形成されるセットです あ .のために B のサブセットになる あ 、のすべての要素 B の要素でもある必要があります あ .

すべてのセットにはいくつかのサブセットがあります。可能なサブセットをすべて把握しておくことが望ましい場合があります。パワーセットとして知られる構造は、この試みに役立ちます。セットのパワーセット あ セットでもある要素を持つセットです。与えられたセットのすべてのサブセットを含めることによって形成されるこのパワーセット あ .

例 1

パワーセットの例を 2 つ考えます。まず、セットから始めると あ = {1, 2, 3} の場合、ベキ集合は?のすべてのサブセットをリストすることによって続けます。 あ .

• の 空集合 のサブセットです あ .確かに 空集合はすべての集合の部分集合です .これは、要素を持たない唯一のサブセットです あ .
• セット {1}、{2}、{3} は、 あ 1つの要素で。
• セット {1, 2}、{1, 3}、{2, 3} は、 あ 2つの要素で。
• すべてのセットはそれ自体のサブセットです。したがって あ = {1, 2, 3} は あ .これは、3 つの要素を持つ唯一のサブセットです。

あ あ あ

例 2

2 番目の例では、次のベキ集合を考えます。 B ={1, 2, 3, 4}。上で述べたことの多くは、現在は同一ではないにしても、似ています。

• 空集合と B 両方のサブセットです。
• の4つの要素があるので、 B 、1 つの要素を持つ 4 つのサブセットがあります: {1}、{2}、{3}、{4}。
• 3つの要素のすべてのサブセットは、から1つの要素を削除することによって形成できるため、 B 4 つの要素があり、そのようなサブセットが 4 つあります: {1, 2, 3}、{1, 2, 4}、{1, 3, 4}、{2, 3, 4}。
• 2 つの要素を持つサブセットを決定する必要があります。 4 つの要素のセットから選択された 2 つの要素のサブセットを形成しています。これは組み合わせであり、 C (4, 2 ) = これらの組み合わせの 6 つ。サブセットは、{1, 2}、{1, 3}、{1, 4}、{2, 3}、{2, 4}、{3, 4} です。

B B

表記

集合のベキ集合を求めるには 2 つの方法があります。 あ と表記されています。これを表す 1 つの方法は、記号を使用することです。 P ( あ ）、時々この手紙 P 定型化されたスクリプトで書かれています。のベキ集合の別の表記法 あ は 2 ^あ .この表記法は、ベキ集合をベキ集合の要素数に接続するために使用されます。

パワーセットのサイズ

この表記法をさらに検討します。もしも あ は有限集合であり、 n 要素、次にその累乗セット P( A ) は 2 になります ⁿ 要素。無限集合を扱っている場合、2 を考えるのは役に立ちません。 ⁿ 要素。ただし、カントールの定理は、集合の基数とその累乗集合が同じであってはならないことを示しています。

可算無限集合の累乗集合の濃度が実数の濃度と一致するかどうかは、数学では未解決の問題でした。この質問の解決策は非常に技術的ですが、このカーディナリティの識別を行うかどうかを選択できると述べています。どちらも一貫した数学的理論につながります。

確率のベキ集合

確率の主題は集合論に基づいています。普遍的な集合や部分集合について言及する代わりに、 サンプル空間 と イベント .サンプル空間で作業するとき、そのサンプル空間のイベントを決定したい場合があります。私たちが持っている標本空間のベキ集合は、すべての可能な事象を与えてくれます。