数学における共用体の定義と使用法
古いセットから新しいセットを形成するために頻繁に使用される 1 つの操作は、ユニオンと呼ばれます。一般的な使用法では、労働組合という言葉は、組織化された労働や労働組合などの団結を意味します。 労働組合の状態 米国のアドレス 大統領 議会の合同セッションの前に行います。数学的な意味では、2 つの集合の結合は、この結合の考えを保持します。より正確には、2 つの集合の和集合 あ と B すべての要素のセットです バツ そのような バツ セットの要素です あ また バツ セットの要素です B .ユニオンを使用していることを示す単語は、「または」という単語です。
「または」という言葉
日常会話で「または」という言葉を使用する場合、この言葉が 2 つの異なる方法で使用されていることに気付かないことがあります。方法は通常、会話のコンテキストから推測されます。もしあなたが尋ねられたら、チキンとステーキのどちらが好きですか?通常は、どちらか一方を持っている可能性がありますが、両方を持っているわけではありません。これを、ベイクドポテトにバターとサワークリームのどちらを付けますか?という質問と対比してください。ここで 'or' は、バターのみ、サワー クリームのみ、またはバターとサワー クリームの両方を選択できるという意味で、包括的な意味で使用されます。
数学では、「または」という言葉は包括的な意味で使用されます。したがって、ステートメント、' バツ の要素です あ またはの要素 B ' は、次の 3 つのいずれかが可能であることを意味します。
- バツ ただの要素です あ の要素ではありません B
- バツ ただの要素です B の要素ではありません あ .
- バツ 両方の要素です あ と B . (こうも言えます バツ の交点の要素です あ と B
例
2 つのセットの結合が新しいセットを形成する方法の例として、セットを考えてみましょう。 あ = {1, 2, 3, 4, 5} および B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}。これら 2 つのセットの和集合を見つけるには、要素が重複しないように注意しながら、表示されるすべての要素をリストするだけです。数字 1、2、3、4、5、6、7、8 はいずれかのセットに含まれているため、 あ と B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}です。
ユニオン表記
集合論演算に関する概念を理解することに加えて、これらの演算を表すために使用される記号を読めるようになることが重要です。 2 つのセットの結合に使用される記号 あ と B によって与えられます あ ∪ B .記号 ∪ が結合を表すことを覚える 1 つの方法は、結合という単語の略である大文字の U に似ていることに注意することです。結合の記号は結合の記号とよく似ているので注意してください。 交差点 .一方は、垂直反転によって他方から取得されます。
この表記の実際の動作を確認するには、上記の例を参照してください。ここにセットがありました あ = {1, 2, 3, 4, 5} および B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}。したがって、集合方程式を書きます あ ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}。
空集合との和集合
#8709 で示されるように、和集合を含む 1 つの基本的な恒等式は、任意の集合と空集合との和集合を取るとどうなるかを示しています。空集合は要素を持たない集合です。したがって、これを他のセットに結合しても効果はありません。言い換えれば、任意のセットと空のセットの結合により、元のセットが返されます。
このアイデンティティは、表記法を使用するとさらにコンパクトになります。私たちはアイデンティティを持っています： あ ∪ ∅ = あ .
ユニバーサルセットとの合体
もう一方の極端な例として、 集合の和集合 ユニバーサルセットで？ユニバーサル セットにはすべての要素が含まれているため、これに他に何も追加することはできません。したがって、ユニオンまたはユニバーサル セットを持つ任意のセットは、ユニバーサル セットです。
繰り返しになりますが、この表記法は、このアイデンティティをよりコンパクトな形式で表現するのに役立ちます。どのセットにも あ そしてユニバーサルセット の 、 あ ∪ の = の .
組合に関係するその他のアイデンティティ
ユニオン操作の使用を伴うセット ID は他にもたくさんあります。もちろん、いつでも大丈夫です 練習 集合論の言葉を使って。より重要なもののいくつかを以下に示します。全セット対象 あ 、 と B と D 我々は持っています：
- 反射特性: あ ∪ あ = あ
- 可換プロパティ: あ ∪ B = B ∪ あ
- 関連プロパティ: ( あ ∪ B ) ∪ D = あ ∪ ( B ∪ D )
- ドモルガンの法則 I: ( あ ∩ B )C= あ C∪ B C
- ドモルガンの法則 II: ( あ ∪ B )C= あ C∩ B C