3 つ以上のセットが結合する確率
シルビア・シューク/ E + /ゲッティイメージズ
2つのイベントがあるとき 相互に排他的 、それらの確率 連合 で計算できます 加算規則 .サイコロを振る場合、4 より大きい数または 3 未満の数を振ることは相互に排他的なイベントであり、共通点は何もないことがわかっています。したがって、このイベントの確率を見つけるには、4 より大きい数字をロールする確率を 3 未満の数字をロールする確率に加算するだけです。記号では、次のようになります。 P 次の確率を示します。
P (4 より大きいか 3 より小さい) = P (4 より大きい) + P (3 未満) = 2/6 + 2/6 = 4/6。
イベントが いいえ 相互に排他的である場合、イベントの確率を単純に加算するのではなく、イベントの確率を減算する必要があります 交差点 イベントの。イベントを考えると あ と B :
P ( あ の B ) = P ( あ ) + P ( B ) - P ( あ ∩ B ）。
ここでは、両方にある要素を二重にカウントする可能性を説明します あ と B 、それが交差の確率を差し引く理由です。
ここから生じる疑問は、なぜ 2 セットでやめるのかということです。 2 つ以上の集合の和集合の確率は?
3 セットの結合の式
上記のアイデアを、3 つのセットがある状況に拡張します。 あ 、 B 、 と ハ .これ以上のことは想定しないので、セットに空でない共通部分がある可能性があります。目標は、 確率 これらの 3 つのセットの和集合、または P ( あ の B の ハ ）。
上記の 2 つのセットに関する議論は依然として有効です。個々のセットの確率を合計できます あ 、 B 、 と ハ 、しかし、これを行う際に、いくつかの要素を二重に数えました。
の交点にある要素 あ と B 以前と同様に二重にカウントされていましたが、現在は二重にカウントされている可能性のある要素が他にもあります。の交点にある要素 あ と ハ との交差点で B と ハ も2回カウントされています。だから、 確率 これらの交点も減算する必要があります。
しかし、私たちは引きすぎましたか？ 2セットしかなかったときは気にする必要がなかったという新たな考慮事項があります。任意の 2 つのセットに共通部分があるように、3 つのセットにも共通部分があります。二重にカウントしていないことを確認するために、3 つのセットすべてに表示される要素をまったくカウントしていません。したがって、3 つのセットすべてが交差する確率を再度追加する必要があります。
上記の議論から導き出される式は次のとおりです。
P ( あ の B の ハ ) = P ( あ ) + P ( B ) + P ( ハ ) - P ( あ ∩ B ) - P ( あ ∩ ハ ) - P ( B ∩ ハ ) + P ( あ ∩ B ∩ ハ )
2 つのサイコロを含む例
3 つのセットの和集合の確率の式を確認するために、ボード ゲームで遊んでいるとします。 サイコロを2つ振る .ゲームのルールにより、勝つためにはサイコロの少なくとも 1 つを 2、3、または 4 にする必要があります。これの確率は？ここでは、3 つのイベントの和集合の確率を計算しようとしていることに注意してください: 少なくとも 1 つの 2 をロールする、少なくとも 1 つの 3 をロールする、少なくとも 1 つの 4 をロールする。したがって、上記の式を次の確率で使用できます。
- 2 が出る確率は 11/36 です。ここでの分子は、最初のサイコロが 2 である結果が 6 つ、2 番目のサイコロが 2 である結果が 6 つ、両方のサイコロが 2 である結果が 1 つあるという事実から得られます。これにより、6 + 6 - 1 = 11 が得られます。
- 上記と同じ理由で、3 が出る確率は 11/36 です。
- 上記と同じ理由で、4 が出る確率は 11/36 です。
- 2 と 3 が出る確率は 2/36 です。ここでは、可能性を簡単に列挙できます。2 つが最初に来るか、2 番目に来るかです。
- 2 と 4 が出る確率は 2/36 で、2 と 3 が出る確率は 2/36 です。
- 2、3、4 が出る確率は 0 です。なぜなら、2 つのサイコロしか振らず、2 つのサイコロで 3 つの数字を得る方法がないからです。
ここで式を使用すると、少なくとも 2、3、または 4 になる確率は次のようになります。
11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.
4 セットの結合の確率の計算式
4 つの集合の和集合の確率の公式がそのような形をしている理由は、3 つの集合の公式の推論と似ています。セット数が増えると、ペア、トリプルなどの数も増えます。 4 つのセットの場合、減算する必要がある 6 つのペアワイズ交差、足し戻す必要がある 4 つのトリプル交差、そして減算する必要がある 4 つの交差があります。与えられた 4 つのセット あ 、 B 、 ハ と D 、これらのセットの和集合の式は次のとおりです。
P ( あ の B の ハ の D ) = P ( あ ) + P ( B ) + P ( ハ ) + P ( D ) - P ( あ ∩ B ) - P ( あ ∩ ハ ) - P ( あ ∩ D )- P ( B ∩ ハ ) - P ( B ∩ D ) - P ( ハ ∩ D ) + P ( あ ∩ B ∩ ハ ) + P ( あ ∩ B ∩ D ) + P ( あ ∩ ハ ∩ D ) + P ( B ∩ ハ ∩ D ) - P ( あ ∩ B ∩ ハ ∩ D ）。
全体のパターン
4 つ以上の集合の和集合の確率の公式 (上のものよりもさらに恐ろしく見えるでしょう) を書くこともできますが、上記の公式を調べると、いくつかのパターンに気付くはずです。これらのパターンは、4 つ以上のセットの和集合を計算するために保持されます。任意の数の集合の和集合の確率は、次のように求めることができます。
- 個々のイベントの確率を追加します。
- を引きます 交点の確率 イベントのすべてのペアの。
- 3 つのイベントのすべてのセットが交差する確率を加算します。
- 4 つのイベントのすべてのセットの交差の確率を引きます。
- 最後の確率が、開始したセットの総数の交差の確率になるまで、このプロセスを続けます。