集合論における 2 つの集合の違いは何ですか?

ベン図の赤い領域は集合 A - B を示します。C.K.Taylor

書かれた2つのセットの違い あ - B のすべての要素のセットです あ の要素ではない B .差演算は、和集合や積集合とともに重要であり、 基本集合論操作 .

違いの説明

ある数値から別の数値の減算は、さまざまな方法で考えることができます。この概念を理解するのに役立つ 1 つのモデルは、次のテイクアウェイ モデルと呼ばれます。 引き算 .この例では、問題 5 - 2 = 3 は、5 つのオブジェクトから始めて、そのうちの 2 つを削除し、残りが 3 つであることを数えることによって示されます。 2 つの数値の差を見つけるのと同じように、2 つのセットの差を見つけることができます。

例

セットの違いの例を見てみましょう。 2 つの違いを確認するには セット 新しいセットを形成します。セットを考えてみましょう あ = {1, 2, 3, 4, 5} および B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}。違いを見つけるには あ - B これらの 2 つのセットのうち、すべての要素を記述することから始めます。 あ 、そしてのすべての要素を取り除きます あ の要素でもあります B .以来 あ 要素 3、4、および 5 を共有する B 、これにより集合差が得られます あ - B = {1, 2}。

順序が重要

差 4 - 7 と 7 - 4 で異なる答えが得られるように、セットの差を計算する順序に注意する必要があります。数学の専門用語を使用すると、差の集合演算は可換ではないと言えます。これが意味することは、一般に、2 つのセットの差の順序を変更して同じ結果を期待することはできないということです。すべてのセットについて、より正確に述べることができます あ と B 、 あ - B 等しくない B - あ .

これを確認するには、上記の例を参照してください。セットに対してそれを計算しました あ = {1, 2, 3, 4, 5} および B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}、差 あ - B = {1, 2}。これと比較するには B - あ、 の要素から始めます B 、これは 3、4、5、6、7、8 であり、次に 3、4、5 を削除します。これらは共通であるためです。 あ .結果は B - あ = {6, 7, 8}。この例は、次のことを明確に示しています。 A - B 等しくない B - A .

補体

ある種の違いは、それ自体の特別な名前とシンボルを正当化するのに十分重要です。これを補数と呼び、設定差額に使用します。 最初のセット ユニバーサルセットです。の補数 あ 式で与えられる の - あ .これは、普遍集合の要素ではないすべての要素の集合を指します。 あ .と理解されるので、 要素のセット 私たちが選択できるものは普遍的な集合から取られているので、単純に あ の要素ではない要素で構成されるセットです あ .

セットの補完は、私たちが扱っているユニバーサル セットに関連しています。と あ = {1, 2, 3} および の = {1, 2 ,3, 4, 5}、の補数 あ {4, 5} です。私たちの普遍的なセットが異なる場合、 の = {-3, -2, 0, 1, 2, 3 } の補数 あ {-3、-2、-1、0}。常にどのユニバーサル セットが使用されているかに注意してください。

補数表記

「補数」という言葉は文字 C で始まるので、これが表記に使用されます。セットの補足 あ と書かれています あ ^ハ.したがって、補数の定義を記号で次のように表すことができます。 あ ^ハ= の - あ .

セットの補数を示すために一般的に使用される別の方法には、アポストロフィが含まれ、次のように記述されます。 あ '。

違いと補数を含む他の同一性

差演算と補数演算の使用を伴う集合恒等式は多数あります。一部の恒等式は、次のような他のセット操作を組み合わせます。 交差点 と 連合 .より重要なもののいくつかを以下に示します。全セット対象 あ 、 と B と D 我々は持っています：

• あ - あ =∅
• あ - ∅ = あ
• ∅ - あ = ∅
• あ - の = ∅
• ( あ ^ハ)^ハ= あ
• ドモルガンの法則 I: ( あ ∩ B )^ハ= あ ^ハ∪ B ^ハ
• ドモルガンの法則 II: ( あ ∪ B )^ハ= あ ^ハ∩ B ^ハ