実数とは

実数の集合は、数直線として表すことができます。 C.K.テイラー

数とは何ですか？まあそれは依存します。数にはさまざまな種類があり、それぞれに固有の特性があります。 1 種類の数。 統計学 、確率、および多くの数学が基づいているものは、実数と呼ばれます。

実数とは何かを学ぶために、まず他の種類の数について簡単に説明します。

数字の種類

数えるためには、まず数について学びます。 1、2、3 の数字を指で合わせることから始めました。それから私たちは可能な限り高く進み続けましたが、おそらくそれほど高くはありませんでした.これらの数または自然数は、私たちが知っている唯一の数でした。

あとで引き算をするときは、 ネガティブ 整数が導入されました。正と負の整数の集合は、整数の集合と呼ばれます。この直後に、分数とも呼ばれる有理数が検討されました。すべての整数は、分母が 1 の分数として記述できるため、整数は有理数の部分集合を形成すると言えます。

の 古代ギリシャ人 すべての数が分数として形成できるわけではないことに気づきました。たとえば、2 の平方根は分数として表すことができません。このような数は無理数と呼ばれます。無理数はたくさんありますが、ある意味では驚くべきことに、有理数よりも無理数の方が多いのです。その他の無理数には、 円周率 と と .

小数展開

すべての実数は 10 進数として記述できます。異なる種類の実数には、異なる種類の小数展開があります。有理数の 10 進展開は、2、3.25、1.2342 のように終了するか、.33333 のように繰り返します。 . .または.123123123。 . .これとは対照的に、無理数の 10 進展開は非終了で非反復です。これは pi の 10 進展開でわかります。円周率には終わりのない数字列があり、さらに、無期限に繰り返される数字列はありません。

実数の可視化

実数は、それぞれを直線に沿った無数の点の 1 つに関連付けることで視覚化できます。実数には順序があります。つまり、任意の 2 つの異なる実数について、一方が他方よりも大きいと言えます。慣例により、実数直線に沿って左に移動すると、より小さな数に対応します。実数直線に沿って右に移動すると、数値が大きくなります。

実数の基本的な性質

実数は、私たちが扱い慣れている他の数と同じように振る舞います。足し算、引き算、掛け算、割り算ができます (ゼロで割り切らない限り)。可換性があるため、足し算と掛け算の順序は重要ではありません。分配特性は、乗算と加算が互いにどのように相互作用するかを教えてくれます。

前述したように、実数には順序があります。与えられた 2 つの実数 バツ と よ 、次のうちの 1 つだけが真であることがわかっています。

バツ = よ 、 バツ < よ また バツ > よ .

別のプロパティ - 完全性

有理数のように、実数を他の数の集合から区別する特性は、完全性として知られる特性です。完全性を説明するのは少し専門的ですが、直感的な概念は、有理数の集合にはギャップがあるということです。実数の集合は完全であるため、ギャップはありません。

例として、有理数 3、3.1、3.14、3.141、3.1415 のシーケンスを見ていきます。 . .この数列の各項は、pi の 10 進展開を切り捨てて得られる pi の近似値です。この数列の項はどんどん pi に近づいていきます。ただし、前述したように、pi は有理数ではありません。無理数を使用して、有理数のみを考慮することによって発生する数直線の穴を埋める必要があります。

実数はいくつ？

実数が無数にあることは驚くべきことではありません。これは、整数が実数のサブセットを形成することを考えると、かなり簡単にわかります。これは、数直線には無限の数の点があることを認識することによってもわかります。

驚くべきことは、実数を数えるために使用される無限が、整数を数えるために使用される無限とは異なる種類のものであることです。整数、整数、有理数は可算無限です。実数の集合は数え切れないほど無限です。

なぜそれらを本物と呼ぶのですか？

実数は、数の概念へのさらなる一般化からそれらを区別するためにその名前が付けられます。虚数 私 は負の 1 の平方根と定義されます。を掛けた任意の実数 私 は虚数とも呼ばれます。虚数は、私たちが最初に数えることを学んだときに考えていたものとはまったく異なるため、間違いなく私たちの数の概念を拡張します.