確率公理とは
3 つの確率公理。 C.K.テイラー
数学における戦略の 1 つは、いくつかのステートメントから始めて、これらのステートメントからさらに数学を構築することです。最初のステートメントは、公理として知られています。公理は通常、数学的に自明なものです。公理の比較的短いリストから、演繹論理を使用して、定理または命題と呼ばれる他のステートメントを証明します。
確率として知られる数学の分野も例外ではありません。確率は 3 つの公理に減らすことができます。これは、数学者のアンドレイ・コルモゴロフによって最初に行われました。確率の根底にあるいくつかの公理は、すべてを推測するために使用できます。 ソート 結果の。しかし、これらの確率公理は何ですか?
定義と準備
確率の公理を理解するには、まずいくつかの基本的な定義について説明する必要があります。サンプル空間と呼ばれる一連の結果があるとします。 S. この標本空間は、私たちが研究している状況の普遍的な集合と考えることができます。サンプル空間は、イベントと呼ばれるサブセットで構成されています と 1、 と 2、 。 . 、 とn .
また、任意のイベントに確率を割り当てる方法があると仮定します と .これは、入力のセットを持つ関数と考えることができます。 実数 出力として。の確率 イベント と で表されます P ( と ）。
公理1
確率の最初の公理は、すべてのイベントの確率が非負の実数であるということです。これは、確率の最小値はゼロであり、無限にはなり得ないことを意味します。使用できる数のセットは実数です。これは、分数としても知られる有理数と、分数として記述できない無理数の両方を指します。
注意すべきことの 1 つは、この公理は、イベントの確率がどれくらい大きくなり得るかについて何も述べていないということです。公理は、負の確率の可能性を排除します。これは、不可能なイベントのために予約されている最小の確率がゼロであるという概念を反映しています。
公理2
確率の 2 番目の公理は、標本空間全体の確率が 1 であるというものです。象徴的に書く P ( S ) = 1. この公理で暗示されているのは、サンプル空間が確率実験で可能なすべてのものであり、サンプル空間の外にイベントがないという概念です。
この公理自体は、サンプル空間全体ではないイベントの確率に上限を設定しません。絶対確実なものは 100% の確率であるということを反映しています。
公理3
確率の 3 番目の公理は、相互に排他的なイベントを扱います。もしも と 1と と 2それは 相互排他的 、つまり、それらには空の交差点があり、U を使用して結合を表します。 P ( と 1の と 2) = P ( と 1) + P ( と 2）。
この公理は、実際にはいくつかの (数え切れないほど無限の) イベントで状況をカバーしており、それらのすべてのペアは相互に排他的です。これが発生する限り、 組合の確率 イベントの合計は確率の合計と同じです。
P ( と 1の と 2の 。 . .の とn ) = P ( と 1) + P ( と 2) + . . . + とn
この 3 番目の公理はあまり役に立たないように見えるかもしれませんが、他の 2 つの公理と組み合わせると非常に強力であることがわかります。
公理アプリケーション
3 つの公理は、あらゆる事象の確率の上限を設定します。イベントの補足を示します と に と ハ.集合論から、 と と と ハ空の交差点があり、相互に排他的です。さらに と の と ハ= S 、サンプル空間全体。
これらの事実を公理と組み合わせると、次のことがわかります。
1 = P ( S ) = P ( と の と ハ) = P ( と ) + P ( と ハ）。
上式を整理すると、 P ( と ) = 1 - P ( と ハ）。確率は非負でなければならないことがわかっているので、すべてのイベントの確率の上限は 1 であることがわかりました。
式をもう一度整理すると、 P ( とハ ) = 1 - P ( と ）。また、この式から、イベントが発生しない確率は、発生する確率を 1 引いた値であると推測できます。
上記の方程式は、空集合で表される不可能なイベントの確率を計算する方法も提供します。これを見るには、空集合が普遍集合の補数であることを思い出してください。 S ハ. 1 = P ( S ) + P ( S ハ) = 1 + P ( S ハ)、代数により、 P ( S ハ) = 0。
さらなる応用
上記は、公理から直接証明できる特性のほんの一例です。確率的にはもっと多くの結果があります。しかし、これらの定理はすべて、確率の 3 つの公理から論理的に拡張したものです。