二乗和式のショートカット

平方和式のショートカット。 C.K.テイラー

の計算 サンプル 分散または 標準偏差 通常は分数で表されます。この分数の分子には、平均からの偏差の平方和が含まれます。 統計では 、この総二乗和の公式は

S（×_私- バツ）²

ここで、記号 x̄ はサンプルの平均を表し、記号 Σ は差の 2 乗を合計するように指示します (x_私- x̄) すべての場合 私 .

この式は計算に使用できますが、最初に計算する必要のない同等のショートカット式があります。 標本平均 .この二乗和のショートカット公式は、

S(x_私²)-(S x_私)²/ n

ここで変数 n サンプルのデータポイントの数を指します。

標準処方例

このショートカット式がどのように機能するかを確認するために、両方の式を使用して計算される例を考えてみましょう。サンプルが 2、4、6、8 であるとします。サンプルの平均は (2 + 4 + 6 + 8)/4 = 20/4 = 5 です。次に、各データ ポイントと平均 5 の差を計算します。

• 2 – 5 = -3
• 4 – 5 = -1
• 6 – 5 = 1
• 8 – 5 = 3

これらの数値をそれぞれ 2 乗して足し合わせます。 (-3)²+ (-1)²+ 1²+ 3²= 9 + 1 + 1 + 9 = 20。

ショートカット式の例

ここで、同じデータ セット (2、4、6、8) を使用して、平方和を求めるショートカット式を使用します。最初に各データ ポイントを 2 乗し、それらを足し合わせます: 2²+ 4²+ 6²+ 8²= 4 + 16 + 36 + 64 = 120。

次のステップでは、すべてのデータを合計し、この合計を 2 乗します: (2 + 4 + 6 + 8)²= 400。これをデータ ポイントの数で割り、400/4 = 100 を取得します。

この数値を 120 から引きます。これにより、偏差の 2 乗の合計が 20 になります。これは、他の公式から既にわかっている数値とまったく同じです。

これはどのように作動しますか？

多くの人は、式を額面どおりに受け入れるだけで、この式が機能する理由がわかりません.代数を少し使うと、このショートカットの公式が偏差の二乗和を計算する従来の標準的な方法と同等である理由がわかります。

実際のデータセットには数千とまではいかなくても数百の値が存在する可能性がありますが、データ値は 3 つだけであると想定します。₁、 バツ₂、 バツ₃.ここに表示されているものは、数千のポイントを持つデータ セットに拡張できます。

( x₁+ ×₂+ ×₃) = 3 x̄.式 Σ(x_私- バツ）²= (×₁- バツ）²+ (×₂- バツ）²+ (×₃- バツ）².

ここで、(a + b) という基本代数の事実を使用します。²= a²+2ab + b².これは、(x₁- バツ）²= ×₁²-2倍₁x̄+ x̄².合計の他の 2 つの項についてこれを行うと、次のようになります。

バツ₁²-2倍₁x̄+ x̄²+ ×₂²-2倍₂x̄+ x̄²+ ×₃²-2倍₃x̄+ x̄².

これを再配置すると、次のようになります。

バツ₁²+ ×₂²+ ×₃²+ 3x̄²- 2x̄(x₁+ ×₂+ ×₃）。

書き換えることで (x₁+ ×₂+ ×₃) = 3x̄ 上記は次のようになります。

バツ₁²+ ×₂²+ ×₃²- 3x̄².

3x̄以降²= (×₁+ ×₂+ ×₃)²/3、式は次のようになります。

バツ₁²+ ×₂²+ ×₃²- （バツ₁+ ×₂+ ×₃)²/3

これは、上で述べた一般式の特殊なケースです。

S(x_私²)-(S x_私)²/ n

それは本当にショートカットですか？

この式が本当に近道だとは思えないかもしれません。結局のところ、上記の例では、同じくらい多くの計算があるように見えます。これの一部は、小さなサンプルサイズしか見ていないという事実に関係しています.

サンプルのサイズを大きくすると、ショートカット式によって計算回数が約半分に減少することがわかります。各データ ポイントから平均を引いて、結果を 2 乗する必要はありません。これにより、操作の総数が大幅に削減されます。