分位数を理解する: 定義と使用法

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中央値などの要約統計量、 第 1 四分位と第 3 四分位 位置の測定値です。これは、これらの数値が、データの分布の指定された割合がどこにあるかを示しているためです。たとえば、中央値は調査中のデータの中央の位置です。データの半分は、中央値よりも小さい値を持っています。同様に、データの 25% は第 1 四分位未満の値を持ち、データの 75% は第 3 四分位未満の値を持ちます。

この概念は一般化できます。これを行う1つの方法は、 パーセンタイル . 90 パーセンタイルは、データの 90% パーセントがこの数値より小さい値を持つポイントを示します。より一般的には、 p パーセンタイルは数字です n そのために p データの % がより小さい n .

連続確率変数

中央値、第 1 四分位数、および第 3 四分位数の順序統計量は通常、離散的なデータ セットを使用する設定で導入されますが、これらの統計量は連続確率変数に対して定義することもできます。連続分布で作業しているため、積分を使用します。の p パーセンタイルは数値です n そのような：

∫_-₶ ⁿ へ ( バツ ) DX = p /100。

ここ へ ( バツ ) は確率密度関数です。したがって、必要な任意のパーセンタイルを取得できます

変位値

さらに一般化すると、注文統計は、作業している分布を分割していることに注意してください。中央値はデータ セットを半分に分割し、中央値または連続分布の 50 パーセンタイルは分布を面積で半分に分割します。最初の四分位、 中央値そして 3 番目の四分位数は、データをそれぞれ同じカウントを持つ 4 つの部分に分割します。上記の積分を使用して、25、50、および 75 パーセンタイルを取得し、連続分布を等しい面積の 4 つの部分に分割できます。

この手順を一般化できます。私たちが始めることができる質問は、自然数が与えられます n 、変数の分布をどのように分割できますか n 同じサイズのピース？これは分位数の考え方に直接関係しています。

の n データセットの分位点は、データを順番にランク付けしてから、このランク付けを n - 間隔で等間隔​​に配置された 1 つのポイント。

連続確率変数の確率密度関数がある場合、上記の積分を使用して分位数を見つけます。為に n 分位点、私たちが望むもの:

• 最初に 1/ n その左側の分布の領域の。
• 2 番目の 2/ n その左側の分布の領域の。
• の r 持つべき目 r / n その左側の分布の領域の。
• 最後に ( n - 1)/ n その左側の分布の領域の。

任意の自然数について n 、 n 変位値は 100 に対応します r / n パーセンタイル、ここで r 1 から任意の自然数を指定できます n - 1.

共通分位数

特定の種類の分位点は、特定の名前を持つほど一般的に使用されています。以下は、これらのリストです。

• 2分位は中央値と呼ばれます
• 3 つの分位数は terciles と呼ばれます
• 4つの分位は四分位と呼ばれます
• 5 つの分位点は quintiles と呼ばれます
• 6つの分位はセクスタイルと呼ばれます
• 7 分位は septiles と呼ばれます
• 8つの分位数は八分位数と呼ばれます
• 10 の分位数は十分位数と呼ばれます
• 12 の分位は duodeciles と呼ばれます
• 20 の分位数は vigintiles と呼ばれます
• 100 の分位数はパーセンタイルと呼ばれます
• 1000 の分位数はパーミレスと呼ばれます

もちろん、上記のリスト以外にも他の分位点が存在します。多くの場合、使用される特定の分位数は、連続サンプルからのサンプルのサイズと一致します。 分布 .

分位数の使用

分位点は、データ セットの位置を指定するだけでなく、他の方法でも役立ちます。母集団からの単純な無作為標本があり、母集団の分布が不明であるとします。正規分布やワイブル分布などのモデルが、サンプリング元の母集団に適しているかどうかを判断するために、データとモデルの変位値を調べることができます。

サンプルデータの分位数を特定のデータの分位数に一致させることにより、 確率分布 、結果はペア データのコレクションです。これらのデータは、分位 - 分位プロットまたは q-q プロットとして知られる散布図にプロットされます。結果の散布図がほぼ線形である場合、モデルはデータに適しています。