負の二項分布とは

タチアナ・コレスニコワ/ゲッティイメージズ

負の二項分布は、 確率分布 これは、離散確率変数で使用されます。このタイプの分布は、所定の数の成功を収めるために発生する必要がある試行の数に関係しています。これから見ていくように、負の二項分布は 二項分布 .また、この分布は幾何分布を一般化したものです。

設定

まず、負の二項分布を生じさせる設定と条件の両方を見ていきます。これらの条件の多くは、二項設定に非常に似ています。

1. ベルヌーイの実験があります。これは、私たちが実施する各試験には明確に定義された成功と失敗があり、これらが唯一の結果であることを意味します.
2. 何度実験しても成功確率は一定です。この一定の確率を p。
3. 実験は繰り返されます バツ 独立した試験とは、ある試験の結果がその後の試験の結果に影響を与えないことを意味します。

これら 3 つの条件は、二項分布の場合と同じです。違いは、二項確率変数には試行回数が固定されていることです。 n. の唯一の値 バツ 0、1、2、...、 ん、 したがって、これは有限分布です。

負の二項分布は、試行回数に関係しています バツ それは私たちが持っているまで発生しなければなりません r 成功。数字 r は、試行を開始する前に選択する整数です。確率変数 バツ まだ離散的です。ただし、確率変数は次の値を取ることができます。 X = r、r+1、r+2、... この確率変数は、取得するまでに任意の長い時間がかかる可能性があるため、可算無限です。 r 成功。

例

負の二項分布を理解するには、例を検討する価値があります。公正なコインを投げ、「最初に 3 回表が出る確率はどれくらいか」という質問をしたとします。 バツ コイントス？これは、負の二項分布を必要とする状況です。

コイントスには 2 つの結果が考えられます。成功する確率は一定の 1/2 であり、試行は互いに独立しています。後に最初の 3 つの表が出る確率を求めます。 バツ コインフリップ。したがって、コインを少なくとも 3 回投げる必要があります。その後、3 番目の頭が現れるまでフリップを続けます。

負の二項分布に関連する確率を計算するには、さらに情報が必要です。確率質量関数を知る必要があります。

確率質量関数

負の二項分布の確率質量関数は、少し考えれば作成できます。すべての試行には、次の式で与えられる成功確率があります。 p。 考えられる結果は 2 つしかないため、これは失敗の確率が一定であることを意味します (1 - p ）。

の r 番目の成功は、 バツ 最後の試練。以前 バツ - 1 回の試行には正確に含まれている必要があります r - 1 成功。これが発生する可能性のある方法の数は、組み合わせの数によって与えられます。

C( バツ - 1, r -1) = (x - 1)!/[(r - 1)!( x - r )!].

これに加えて、独立したイベントがあるため、確率を一緒に掛けることができます。これらすべてをまとめると、確率質量関数が得られます

へ ( バツ ) =C( バツ - 1, r -1) p ^r (1 - p ) ^{バツ - r}.

ディストリビューションの名前

これで、この確率変数が負の二項分布を持つ理由を理解できるようになりました。上記で遭遇した組み合わせの数は、設定によって異なる方法で書くことができます x - r = k:

(x - 1)!/[(r - 1)!( x - r )!] = ( x + k - 1)!/[(r - 1)! k !] = ( r + k - 1)( x + k - 2) . . . (r + 1)(r)/ k ! = (-1) ^k (-r)(-r - 1)。 . .(-r -(k + 1)/k!.

ここでは、二項式 (a + b) を負の累乗にするときに使用される負の二項係数の出現が見られます。

平均

分布の中心を示す方法の 1 つであるため、分布の平均を知ることは重要です。このタイプの確率変数の平均は、その期待値によって与えられ、次のようになります。 r / p .を使用して、これを慎重に証明できます。 モーメント母関数 このディストリビューションのために。

直感は、この表現にも私たちを導きます。一連の試行を実行するとします。 n ₁入手するまで r 成功。そして、これをもう一度行いますが、この時間だけかかります n ₂試練。多数の試行グループが作成されるまで、これを何度も繰り返します。 N = n ₁+ n ₂+ . . . + n _k.

それぞれの k トライアルが含まれています r 成功したので、合計 DKK 成功。もしも N が大きい場合、約 例えば 成功。したがって、これらを一緒に同等化し、 kr = Np。

代数を計算すると、 N / k = r / p。 この方程式の左辺の分数は、それぞれのテストに必要な試行回数の平均です。 k トライアルのグループ。言い換えれば、これは実験を実行するために予想される回数であるため、合計で r 成功。これこそまさに私たちが見つけたい期待です。これは式に等しいことがわかります r / p。

分散

負の二項分布の分散も、モーメント母関数を使用して計算できます。これを行うと、この分布の分散が次の式で与えられることがわかります。

r(1 - p )/ p ²

モーメント発生機能

このタイプの確率変数のモーメント生成関数は非常に複雑です。モーメント母関数が期待値 E[e であると定義されていることを思い出してください。^TX]。この定義を確率質量関数で使用すると、次のようになります。

M(t) = E[e^TX] = Σ (x - 1)!/[(r - 1)!( x - r ）！]と^TX p ^r (1 - p ) ^{バツ - r}

いくつかの代数の後、これは M(t) = (pe^t)^r[1-(1-p)e^t]^-r

他のディストリビューションとの関係

上記で、負の二項分布が多くの点で二項分布に似ていることを見てきました。この関係に加えて、負の二項分布は幾何分布のより一般的なバージョンです。

幾何確率変数 バツ 最初の成功が発生するまでに必要な試行回数をカウントします。これがまさに負の二項分布であることは簡単にわかりますが、 r 1に等しい。

負の二項分布の他の定式化が存在します。一部の教科書では次のように定義されています。 バツ までの試行回数 r 障害が発生します。

例題

問題の例を見て、負の二項分布を処理する方法を確認します。バスケットボール選手が 80% のフリー スロー シューターであるとします。さらに、フリー スローを 1 回行うことは、次のフリー スローを行うこととは無関係であると仮定します。このプレーヤーが 10 回目のフリースローで 8 番目のバスケットを決める確率は?

負の二項分布の設定があることがわかります。一定の成功確率は 0.8 なので、失敗確率は 0.2 です。 r = 8 のときに X = 10 になる確率を求めます。

これらの値を確率質量関数に代入します。

f(10) =C(10 -1, 8 - 1) (0.8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)²、約 24% です。

次に、このプレーヤーが 8 本のフリー スローを成功させるまでに、フリー スローを平均何本打ったかを尋ねることができます。期待値は8/0.8=10なので、これがショット数です。