確率変数のモーメント生成関数

確率変数のモーメント母関数は、期待値によって定義されます。 C.K.テイラー

の平均と分散を計算する 1 つの方法 確率分布 を見つけることです 期待値 確率変数の バツ と バツ ².表記を使用します と ( バツ ） と と ( バツ ²) は、これらの期待値を示します。一般的には計算が難しい と ( バツ ） と と ( バツ ²） 直接。この困難を回避するために、より高度な数学的理論と微積分を使用します。最終結果は、計算を容易にするものです。

この問題の戦略は、新しい変数の新しい関数を定義することです t これをモーメント母関数と呼びます。この関数を使用すると、単に微分をとることでモーメントを計算できます。

仮定

モーメント母関数を定義する前に、記法と定義でステージを設定することから始めます。私たちはさせます バツ なる 離散確率変数 .この確率変数には確率質量関数があります へ ( バツ ）。私たちが扱っているサンプル空間は、 S .

の期待値を計算するのではなく、 バツ に関連する指数関数の期待値を計算したい バツ .陽性があれば 実数 r そのような と ( と^TX ) が存在し、すべてに対して有限である t 間隔で [- r 、 r ] とすると、次のモーメント母関数を定義できます。 バツ .

意味

モーメント母関数は、上記の指数関数の期待値です。つまり、モーメント母関数 バツ によって与えられます：

M ( t ) = と ( と^TX )

この期待値は式 Σ と ^TX へ ( バツ )、合計はすべての バツ の中に サンプルスペース S .これは、使用されているサンプル空間に応じて、有限または無限の合計になる可能性があります。

プロパティ

モーメント母関数には、確率および数学的統計の他のトピックに関連する多くの機能があります。その最も重要な機能のいくつかは次のとおりです。

• の係数 と^未定 確率です バツ = b .
• モーメント生成関数には一意性があります。 2 つの確率変数のモーメント母関数が互いに一致する場合、確率質量関数は同じでなければなりません。つまり、確率変数は同じ確率分布を表します。
• モーメント生成関数を使用して、モーメントを計算できます。 バツ .

モーメントの計算

上記のリストの最後の項目では、モーメント生成関数の名前とその有用性について説明しています。一部の高度な数学では、私たちが設定した条件の下で、関数の任意の次数の導関数は M ( t ) がいつ存在するか t = 0. さらに、この場合、和と微分の順序を次のように変更できます。 t 次の式を取得します (すべての合計は、 バツ サンプル空間で S ):

• M '( t ) = S 車^TX へ ( バツ )
• M 」（ t ) = S バツ²と^TX へ ( バツ )
• M '''( t ) = S バツ³と^TX へ ( バツ )
• M ^(ン)'( t ) = S バツⁿと^TX へ ( バツ )

設定すると t 上記の式で = 0 の場合、 と^TX 用語は と ⁰= 1. したがって、確率変数のモーメントの公式が得られます。 バツ :

• M '(0) = と ( バツ )
• M ''(0) = と ( バツ ²)
• M '''(0) = と ( バツ ³)
• M ^{( n )}(0) = と ( バツⁿ )

これは、特定の確率変数に対してモーメント母関数が存在する場合、モーメント母関数の導関数に関してその平均と分散を見つけることができることを意味します。平均は M '(0)、分散は M ''(0) – [ M '(0)]².

概要

要約すると、かなり強力な数学に取り掛かる必要があったため、いくつかの点が見過ごされていました。上記には微積分を使用する必要がありますが、最終的には、定義から直接モーメントを計算するよりも、数学的な作業の方が一般的に簡単です。