回帰直線の傾きと相関係数

エメリー/ゲッティイメージズ

研究の中で何度も統計学異なるトピック間のつながりを作ることが重要です。回帰直線の傾きが 相関係数 .これらの概念は両方とも直線を含むため、「相関係数と 最小二乗線 関連している？'

まず、これら両方のトピックに関する背景を見ていきます。

相関関係の詳細

で示される相関係数に関する詳細を覚えておくことが重要です。 r .この統計は、ペアリングしたときに使用されますペアデータ、データの全体的な分布の傾向を探すことができます。一部の対になったデータは、線形または直線のパターンを示します。しかし実際には、データが正確に直線に沿っていることはありません。

複数の人が同じものを見ている 散布図 対になったデータのうち、どれだけ全体的な線形傾向を示しているかについて意見が一致しません。結局のところ、これに対する私たちの基準はやや主観的かもしれません.使用するスケールも、データの認識に影響を与える可能性があります。これらの理由やその他の理由から、対になったデータが線形にどれだけ近いかを示す何らかの客観的な尺度が必要です。相関係数がこれを実現します。

についてのいくつかの基本的な事実 r 含む：

• の値 r -1 から 1 までの任意の実数の範囲。
• の値 r 0 に近いということは、データ間に線形関係がほとんどまたはまったくないことを意味します。
• の値 r 1 に近いということは、データ間に正の線形関係があることを意味します。これは、 バツ それを増やします よ も増加します。
• の値 r -1 に近い値は、データ間に負の線形関係があることを意味します。これは、 バツ それを増やします よ 減少します。

最小二乗線の傾き

上記のリストの最後の 2 つの項目は、最適な最小二乗線の傾きを示しています。線の傾きは、右に 1 単位移動するたびに、何単位上下するかの測定値であることを思い出してください。これは、ラインの上昇をランで割ったもの、または よ の変化で割った値 バツ 値。

一般に、直線には正、負、またはゼロの傾きがあります。最小二乗回帰直線を調べて、対応する値を比較すると r 、データが 負の相関係数 、回帰直線の傾きは負です。同様に、正の相関係数を持つたびに、回帰直線の傾きは正になります。

この観察から、相関係数の符号と最小二乗直線の傾きの間に明確な関係があることは明らかです。なぜこれが真実なのかを説明する必要があります。

勾配の公式

の値の間の接続の理由 r 最小二乗直線の傾きは、この直線の傾きを与える公式と関係があります。対になったデータの場合 ( x,y ) を表す 標準偏差 の バツ によるデータ s_バツ の標準偏差 よ によるデータ s_よ .

傾きの式 a 回帰直線は次のとおりです。

• a = r(s_よ/秒_バツ)

標準偏差の計算には、負でない数の正の平方根をとることが含まれます。結果として、勾配の式の両方の標準偏差は負ではない必要があります。データに何らかの変動があると仮定すると、これらの標準偏差のいずれかがゼロである可能性を無視できます。したがって、相関係数の符号は、回帰直線の傾きの符号と同じになります。