数学で「If and Only If」を使用する方法

コートニー・テイラー

統計学や数学について読むとき、定期的に現れる 1 つのフレーズは、if and only if です。このフレーズは、特に数学的定理または証明のステートメント内に表示されます。しかし、正確には、この声明は何を意味するのでしょうか?

If and Only If If は数学で何を意味しますか?

if および if only を理解するには、まず条件ステートメントの意味を理解する必要があります。条件付きステートメントは、他の 2 つのステートメントから形成されるステートメントであり、P と Q で表します。条件付きステートメントを作成するには、If P then Q と言うことができます。

以下は、この種のステートメントの例です。

• 外で雨が降っている場合は、傘を持って散歩します。
• 一生懸命勉強すれば、A を獲得できます。
• もしも n は 4 で割り切れます。 n は 2 で割り切れます。

コンバースとコンディショナル

その他の 3 つのステートメントは、条件ステートメントに関連しています。これらは 逆、逆、対極 .これらのステートメントは、元の条件文から P と Q の順序を変更し、逆と対極を表す単語 not を挿入することによって形成されます。

ここではその逆を考えるだけです。このステートメントは、if Q then P という元の文から得られます。外で雨が降っている場合の条件文から始めるとします。次に、私は散歩に傘を持っていきます。このステートメントの逆は、散歩に傘を持っていくと、外は雨が降っているということです。

元の条件文がその逆文と論理的に同じではないことを理解するには、この例を検討する必要があるだけです。これら 2 つのステートメント形式の混同は、 コンバースエラー .外は雨が降っていなくても、散歩に傘をさすことができます。

別の例として、数値が 4 で割り切れる場合は 2 で割り切れるという条件付きを考えます。このステートメントは明らかに真です。ただし、このステートメントの逆数が 2 で割り切れる場合、4 で割り切れる場合は false です。 6 などの数だけを見る必要があります。この数は 2 で割り切れますが、4 では割り切れません。元のステートメントは真ですが、その逆はそうではありません。

二条件

これは、「if and only if」ステートメントとしても知られる二条件ステートメントになります。特定の条件ステートメントには、真のコンバースもあります。この場合、二条件文として知られるものを作成できます。二条件文の形式は次のとおりです。

PならQ、QならP。

これから 工事 特に P と Q が独自の論理ステートメントである場合は、やや厄介です。「if and only if」というフレーズを使用して、二条件式のステートメントを単純化します。 「P の場合は Q、Q の場合は P」と言うのではなく、「Q の場合のみ P」と言います。この構造により、一部の冗長性が排除されます。

統計の例

if and only if it has statistics というフレーズの例については、サンプルの標準偏差に関する事実以外を探す必要はありません。データセットのサンプル標準偏差は次のようになります ゼロ すべてのデータ値が同一である場合に限ります。

この二条件文を条件文とその逆に分解します。次に、このステートメントが次の両方を意味することがわかります。

• 標準偏差がゼロの場合、すべてのデータ値は同一です。
• すべてのデータ値が同一の場合、標準偏差はゼロに等しくなります。

二条件の証明

二条件を証明しようとすると、ほとんどの場合、それを分割することになります。これにより、証明は 2 つの部分で構成されます。証明する部分の 1 つは、P の場合 Q の場合です。必要な証明のもう 1 つの部分は、Q の場合 P の場合です。

必要十分条件

二条件文は、必要かつ十分な条件に関連しています。今日が イースター 、それでは明日は月曜日です。今日が復活祭で明日が月曜日で十分ですが、必須ではありません。今日はイースター以外の日曜日で、明日は月曜日です。

略語

if and only if というフレーズは、数学の記述で十分に一般的に使用されているため、独自の省略形があります。 if and only if という句のステートメントの二条件式は、単に iff に短縮されることがあります。したがって、ステートメント P は、Q が P iff Q になる場合に限ります。