標準偏差がゼロになるのはいつですか?

モーリーン・P・サリバン/ゲッティイメージズ

の サンプル標準偏差 定量的データセットの広がりを測定する記述統計量です。この数値は、非負の実数にすることができます。ゼロは非負なので 実数 , 質問する価値があるようです, サンプル標準偏差がゼロに等しくなるのはいつですか?これは、すべてのデータ値がまったく同じである、非常に特殊で非常に珍しいケースで発生します。その理由を探っていきます。

標準偏差の説明

通常、データ セットに関して回答したい 2 つの重要な質問には、次のようなものがあります。

• データセットの中心は?
• データセットはどの程度分散していますか?

これらの質問に答える記述統計と呼ばれるさまざまな測定値があります。たとえば、データの中心は、 平均 、平均、中央値、またはモードの観点から説明できます。あまり知られていない他の統計を使用できます。 追跡 またはトリメアン。

データの拡散には、範囲、 四分位範囲 または標準偏差。標準偏差を平均と組み合わせて、データの広がりを定量化します。この数値を使用して、複数のデータセットを比較できます。標準偏差が大きいほど、スプレッドは大きくなります。

直感

この説明から、標準偏差がゼロになるとはどういうことかを考えてみましょう。これは、データセットにまったく広がりがないことを示しています。個々のデータ値はすべて 1 つの値にまとめられます。データが持つことができる値は 1 つしかないため、この値がサンプルの平均を構成します。

この状況では、すべてのデータ値が同じであれば、変動はまったくありません。このようなデータセットの標準偏差がゼロになることは、直感的に理にかなっています。

数学的証明

サンプル標準偏差は、式によって定義されます。したがって、上記のようなステートメントは、この公式を使用して証明する必要があります。上記の説明に適合するデータセットから始めます。すべての値が同一であり、 n 等しい値 バツ .

このデータセットの平均を計算すると、

バツ = ( バツ + バツ + . . . + バツ )/ n = nx / n = バツ .

ここで、平均からの個々の偏差を計算すると、これらの偏差がすべてゼロであることがわかります。したがって、分散も標準偏差も両方ともゼロに等しくなります。

必要十分

データセットが変動を示さない場合、その標準偏差はゼロであることがわかります。私たちは、 会話する このステートメントのも当てはまります。そうであるかどうかを確認するために、標準偏差の式をもう一度使用します。ただし、今回は標準偏差をゼロに設定します。データセットについて仮定はしませんが、どのような設定かを見ていきます s = 0 は意味します

データセットの標準偏差がゼロに等しいとします。これは、標本分散が s ²もゼロに等しい。結果は次の式です。

0 = (1/( n - 1)) ∑ ( バツ _私- バツ )²

式の両辺に n - 1 偏差の二乗の合計がゼロに等しいことを確認します。実数を扱っているため、これが発生する唯一の方法は、平方偏差のすべてがゼロになることです。これは、すべての 私 、 用語 （ バツ _私- バツ )²= 0。

ここで、上記の方程式の平方根を取り、平均からのすべての偏差がゼロに等しくなければならないことを確認します。すべてのために以来 私 、

バツ _私- バツ = 0

これは、すべてのデータ値が平均に等しいことを意味します。この結果と上記の結果から、データ セットのサンプル標準偏差がゼロであると言えるのは、その値がすべて同一である場合のみです。