素数をランダムに選択する確率の計算

ロバート・ブルック/ゲッティイメージズ

数論は 数学 それ自体が整数のセットに関係しています。無理数などの他の数を直接研究しないため、これを行うことである程度制限されます。ただし、他の種類の 実数 使用されています。これに加えて、確率の主題は数論と多くのつながりと交差を持っています。これらの接続の 1 つは、の配布と関係があります。 素数。 より具体的には、ランダムに選択された整数が 1 から バツ 素数ですか？

前提と定義

数学の問題と同様に、どのような仮定が立てられているかだけでなく、問題のすべての重要な用語の定義も理解することが重要です。この問題では、整数 1、2、3、... を意味する正の整数を考えています。 . .ある数まで バツ .これらの数字の 1 つをランダムに選択しています。 バツ それらのいずれかが選択される可能性は等しくなります。

素数が選択される確率を決定しようとしています。したがって、素数の定義を理解する必要があります。素数は、ちょうど 2 つの因数を持つ正の整数です。これは、素数の約数は 1 とその数そのものだけであることを意味します。 2、3、5 は素数ですが、4、8、12 は素数ではありません。素数には 2 つの因数がなければならないので、数 1 は いいえ プライム。

数値が低い場合の解決策

この問題の解決策は、数値が小さい場合は簡単です バツ .する必要があるのは、以下の素数の数を数えることだけです。 バツ .以下の素数の数を割ります バツ 番号で バツ .

たとえば、素数が 1 ～ 10 から選択される確率を求めるには、1 ～ 10 の素数の数を 10 で割る必要があります。2、3、5、7 は素数なので、素数が選択される確率は選択されたのは 4/10 = 40% です。

1 から 50 までの素数が選択される確率も同様に求めることができます。 50 未満の素数は、2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47 です。50 以下の素数は 15 個あります。したがって、素数がランダムに選択される確率は 15/50 = 30% です。

このプロセスは、素数のリストがある限り、素数を数えるだけで実行できます。たとえば、100 以下の素数は 25 個あります (したがって、1 から 100 までのランダムに選択された数が素数である確率は 25/100 = 25% です)。ただし、素数のリストがない場合、与えられた数以下の素数のセットを決定するのは、計算的に困難な場合があります バツ .

素数定理

以下の素数の数を数えていない場合 バツ 、この問題を解決する別の方法があります。解決策には、素数定理として知られる数学的結果が含まれます。これは、素数の全体的な分布に関するステートメントであり、決定しようとしている確率を概算するために使用できます。

素数定理は、およそ バツ / ln( バツ ) 以下の素数 バツ .ここでln( バツ ) の自然対数を表す バツ 、つまり底を底とする対数 数字 と .の値として バツ より少ない数の素数間の相対誤差が減少するという意味で、近似が改善されます。 バツ と式 バツ / ln( バツ ）。

素数定理の応用

素数定理の結果を使用して、対処しようとしている問題を解決できます。素数定理から、おおよそ バツ / ln( バツ ) 以下の素数 バツ .さらに、合計 バツ 以下の正の整数 バツ .したがって、この範囲でランダムに選択された数が素数である確率は ( バツ / ln( バツ ) ) / バツ = 1 / ln( バツ ）。

例

この結果を使用して、最初の素数からランダムに素数を選択する確率を概算できます。 十億 整数。 10 億の自然対数を計算すると、ln(1,000,000,000) は約 20.7、1/ln(1,000,000,000) は約 0.0483 であることがわかります。したがって、最初の 10 億の整数からランダムに素数を選択する確率は約 4.83% です。