統計における歪度とは
C.K.テイラー
などの一部のデータ分布 釣鐘曲線 また 正規分布 、対称です。これは、分布の右と左が互いに完全な鏡像であることを意味します。すべてのデータ分布が対称的であるとは限りません。対称でないデータのセットは、非対称であると言われます。分布がどの程度非対称であるかの尺度は、歪度と呼ばれます。
平均、中央値、最頻値はすべて センターの対策 一連のデータの。データの歪度は、これらの量が互いにどのように関連しているかによって判断できます。
右に傾いている
右に歪んだデータには、右に伸びる長いテールがあります。右に歪んだデータセットについて別の言い方をすると、それは正に歪んでいると言うことです。この状況では、平均と 中央値 はどちらもモードより大きいです。原則として、ほとんどの場合、データが右に歪んでいる場合、平均は中央値よりも大きくなります。要約すると、右に歪んだデータセットの場合:
- 常に: モードよりも大きいことを意味します
- 常に: 中央値が最頻値より大きい
- ほとんどの場合: 平均値が中央値よりも大きい
左に歪む
左に歪んだデータを扱う場合、状況は逆になります。左に歪んだデータには、左に伸びる長いテールがあります。左に歪んだデータセットについて別の言い方をすると、それは負に歪んでいると言うことです。この状況では、平均と中央値はどちらも最頻値より小さくなります。原則として、ほとんどの場合、データが左に歪んでいる場合、平均は中央値よりも小さくなります。要約すると、左に歪んだデータセットの場合:
- 常に: モードより小さいことを意味します
- 常に: 中央値が最頻値よりも小さい
- ほとんどの場合: 平均値が中央値よりも小さい
歪度の測定
2 つのデータ セットを見て、一方が対称で、もう一方が非対称であると判断するのは 1 つのことです。非対称データの 2 つのセットを見て、一方が他方よりも歪んでいると言うのは別の話です。分布のグラフを見るだけで、どちらがより歪んでいるかを判断するのは非常に主観的です。これが、歪度の尺度を数値的に計算する方法がある理由です。
ピアソンの第 1 歪度係数と呼ばれる歪度の尺度の 1 つは、最頻値から平均を引き、この差を次の値で割ることです。 標準偏差 データの。差を割る理由は、無次元の量を持つためです。これは、右に歪んだデータが正の歪度を持つ理由を説明しています。データセットが右に歪んでいる場合、平均は最頻値よりも大きいため、平均から最頻値を引くと正の数が得られます。同様の議論により、左に歪んだデータの歪度が負になる理由が説明されます。
ピアソンの 2 番目の歪度係数も、データ セットの非対称性を測定するために使用されます。この量については、中央値から最頻値を引き、この数値を 3 倍してから標準偏差で割ります。
歪んだデータの応用
歪んだデータは、さまざまな状況で非常に自然に発生します。数百万ドルを稼いでいる少数の個人でさえ平均に大きな影響を与える可能性があり、マイナスの収入がないため、収入は右に歪んでいます。同様に、電球のブランドなど、製品の寿命に関するデータは右に偏っています。ここで、寿命の最小値はゼロであり、寿命の長い電球はデータに正の歪みを与えます。