Yahtzee で 1 回のロールでフルハウスが発生する確率
バージニア州立公園のスタッフ [CC BY 2.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)]、ウィキメディア コモンズ経由
Yahtzee のゲームでは、5 つの標準サイコロを使用します。各ターンで、プレイヤーには 3 つのロールが与えられます。各ロールの後、これらのダイスの特定の組み合わせを取得することを目的として、任意の数のダイスを保持できます。さまざまな種類の組み合わせごとに、さまざまなポイントの価値があります。
これらのタイプの組み合わせの 1 つは、フルハウスと呼ばれます。ポーカー ゲームのフルハウスのように、この組み合わせには、特定の数字の 3 つと異なる数字のペアが含まれます。 Yahtzee はサイコロをランダムに振るため、確率を使用してこのゲームを分析し、1 回のロールでフルハウスが出る可能性を判断できます。
仮定
まず、仮定を述べることから始めます。使用されるサイコロは公平で、互いに独立していると仮定します。これは、5 つのサイコロのすべての可能なロールから構成される均一なサンプル空間があることを意味します。 Yahtzee のゲームでは 3 回のロールが可能ですが、1 回のロールでフルハウスを取得する場合のみを考慮します。
サンプルスペース
私たちは ユニフォーム サンプルスペース 、私たちの確率の計算は、いくつかの数え上げ問題の計算になります。フルハウスの確率は、フルハウスを転がす方法の数をサンプル空間の結果の数で割ったものです。
サンプル空間の結果の数は簡単です。 5 つのサイコロがあり、これらのサイコロのそれぞれが 6 つの異なる結果のいずれかを持つことができるため、標本空間の結果の数は 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 です。5= 7776。
満室数
次に、フルハウスを転がす方法の数を計算します。これはより難しい問題です。フルハウスを作るには、同じ種類のサイコロが 3 つ必要で、次に別の種類のサイコロが 2 つ必要です。この問題を 2 つの部分に分割します。
- 転がすことができるさまざまな種類のフルハウスの数はいくつですか?
- 特定のタイプのフルハウスを転がす方法は何通りありますか?
これらのそれぞれの数がわかったら、それらを掛け合わせて、転がすことができるフルハウスの総数を得ることができます。
まず、転がすことができるさまざまな種類のフルハウスの数を調べます。スリーカードには、1、2、3、4、5、6 のいずれかの数字を使用できます。ペアの残りの数字は 5 つです。したがって、ロールできるフルハウスの組み合わせは 6 x 5 = 30 種類あります。
たとえば、フルハウスの 1 つのタイプとして 5、5、5、2、2 を持つことができます。別のタイプのフルハウスは 4, 4, 4, 1, 1 です。もう 1 つのタイプは 1, 1, 4, 4, 4 です。これは、4 と 1 の役割が入れ替わっているため、前のフルハウスとは異なります。 .
次に、特定のフルハウスを転がす方法の数を決定します。たとえば、次のそれぞれは、3 つの 4 と 2 つの 1 の同じフルハウスを示します。
- 4、4、4、1、1
- 4、1、4、1、4
- 1、1、4、4、4
- 1、4、4、4、1
- 4、1、4、4、1
特定のフルハウスを転がすには、少なくとも 5 つの方法があることがわかります。他にもありますか？他の可能性を列挙し続けたとしても、それらすべてを発見したことをどうやって知るのでしょうか?
これらの質問に答える鍵は、私たちが数え上げ問題を扱っていることを認識し、どのような種類の数え上げ問題を扱っているかを判断することです。 5 つの位置があり、そのうちの 3 つを 4 で埋める必要があります。正確な位置が満たされている限り、フォーを配置する順序は重要ではありません。 4 の位置が決定されると、1 の配置は自動的に行われます。これらの理由から、 組み合わせ 一度に3つ取られる5つの位置のうち。
組み合わせ式を使用して取得します ハ (5, 3 ) = 5!/(3!2!) = (5 x 4) / 2 = 10. これは、特定のフルハウスを転がす方法が 10 通りあることを意味します。
これらすべてをまとめると、満室の数があります。 1 回のロールでフルハウスを取得するには、10 x 30 = 300 通りの方法があります。
確率
今、 フルハウスの確率 は簡単な割り算です。 1回のロールでフルハウスを転がす方法は300通りあり、5つのサイコロを7776回振る可能性があるため、フルハウスを転がす確率は300/7776で、1/26に近く、3.85%です。これは、Yahtzee を 1 回ロールするよりも 50 倍高い確率です。
もちろん、最初のロールがフルハウスではない可能性が非常に高いです。この場合、さらに 2 つのロールが許可され、フルハウスの可能性が高くなります。考えられるすべての状況を考慮する必要があるため、この確率を決定するのははるかに複雑です。