ヤッツィーを転がす確率

トビアス・ラダウ/EyeEm/ゲッティイメージズ

Yahtzee は、チャンスと戦略を組み合わせたダイス ゲームです。プレイヤーは 5 つのサイコロを振って手番を開始します。このロールの後、プレイヤーは任意の数のサイコロを再ロールすることができます。最大で、各ターンに合計 3 回のロールがあります。これらの 3 つのロールに続いて、サイコロの結果がスコアシートに入力されます。このスコア シートには、次のようなさまざまなカテゴリが含まれています。 フルハウス また 大ストレート .各カテゴリは、サイコロのさまざまな組み合わせで満たされます。

記入するのが最も難しいカテゴリは、ヤッツィーのカテゴリです。 Yahtzee は、プレーヤーが同じ数字を 5 つロールすると発生します。ヤッツィーの可能性はどれくらいありますか?これは、確率を求めるよりもはるかに複雑な問題です。 2 あるいは サイコロ3つ .主な理由は、3 回のロールで 5 つの一致するサイコロを取得する方法が多数あるためです。

組み合わせの組み合わせ論の公式を使用し、問題をいくつかに分割することで、ヤッツィーが転がる確率を計算できます。 相互に排他的 ケース。

ワンロール

考慮すべき最も簡単なケースは、最初のロールですぐに Yahtzee を取得することです。まず、確率5 つの 2 の特定の Yahtzee をロールし、これを任意の Yahtzee の確率に簡単に拡張します。

2 が出る確率は 1/6 で、それぞれのサイコロの結果は独立しています。したがって、5 つの 2 が出る確率は (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776 です。他の数字の 5 が出る確率も 1/7776 です。サイコロには全部で 6 つの異なる数字があるので、上記の確率に 6 を掛けます。

これは、最初のロールでヤッツィーが出る確率が 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0.08% であることを意味します。

2 ロール

最初のロールで 5 種類以外をロールした場合は、ヤッツィーを取得するためにサイコロの一部を再ロールする必要があります。最初のロールにフォーカードがあるとします。一致しない 1 つのダイスを再ロールし、この 2 回目のロールで Yahtzee を取得します。

この方法で合計 5 つの 2 が出る確率は、次のようになります。

1. 最初のロールでは、4 つの 2 があります。 2 が出る確率は 1/6 で、2 が出ない確率は 5/6 であるため、(1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776。
2. 5つのいずれかサイコロを振った非 2 である可能性があります。 C(5, 1) = 5 の組み合わせ公式を使用して、4 つの 2 と 2 以外のものをロールする方法を数えます。
3. 乗算すると、最初のロールでちょうど 4 つの 2 が出る確率は 25/7776 であることがわかります。
4. 2 番目のロールでは、1 が 2 になる確率を計算する必要があります。これは 1/6 です。したがって、上記の方法でヤッツィーが 2 になる確率は、(25/7776) x (1/6) = 25/46656 です。

サイコロには 6 つの異なる数字があるため、この方法でヤッツィーが出る確率を求めるには、上記の確率に 6 を掛けます。これにより、6 x 25/46656 = 0.32 パーセントの確率が得られます。

しかし、これは2つのロールでYahtzeeをロールする唯一の方法ではありません.以下の確率はすべて、上記とほぼ同じ方法で求められます。

• スリーカードを振ってから、2 回目のサイコロに一致する 2 つのサイコロを振ることができます。この確率は、6 x C(5 ,3) x (25/7776) x (1/36) = 0.54 パーセントです。
• 一致するペアをロールし、2 回目のロールで一致する 3 つのサイコロを振ることができます。この確率は、6 x C(5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0.36% です。
• 5 つの異なるサイコロを振って、最初のサイコロから 1 つのサイコロを保存し、2 回目のサイコロに一致する 4 つのサイコロを振ることができます。この確率は (6!/7776) x (1/1296) = 0.01% です。

上記のケースは相互に排他的です。これは、Yahtzee が 2 回ロールされる確率を計算するために、上記の確率を合計すると、約 1.23% になることを意味します。

スリーロール

これまでで最も複雑な状況として、3 つのロールすべてを使用して Yahtzee を取得するケースを検討します。これにはいくつかの方法がありますが、それらすべてを説明する必要があります。

これらの可能性の確率は、次のように計算されます。

• フォーカードを振ってから何も出さず、最後のサイコロを振って最後のサイコロが一致する確率は、6 x C(5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0.27 です。パーセント。
• スリーカードを出してから何も出さず、最後の出目で正しいペアと一致する確率は、6 x C(5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0.37パーセント。
• 一致するペアをロールし、その後何もロールしない場合、3 回目のロールで正しいスリーカードと一致する確率は、6 x C(5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216) です。 ) = 0.21 パーセント。
• 1 つのサイコロを振って、これに一致するものがない場合、3 回目のロールで正しいフォーカードと一致する確率は、(6!/7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0.003 パーセントです。
• スリーカードを振って、次のロールで追加のサイコロが一致し、3 回目のロールで 5 番目のサイコロが一致する確率は、6 x C(5, 3) x (25/7776) x C(2, 1) です。 x (5/36) x (1/6) = 0.89 パーセント。
• ペアをロールし、次のロールで追加のペアが一致し、3 回目のロールで 5 番目のサイコロが一致する確率は、6 x C(5, 2) x (100/7776) x C(3, 2) x ( 5/216) x (1/6) = 0.89 パーセント。
• ペアを転がし、次のロールで追加のダイスが一致し、3 回目のロールで最後の 2 つのダイスが一致する確率は、6 x C(5, 2) x (100/7776) x C(3, 1) x です。 (25/216) x (1/36) = 0.74 パーセント。
• ワンカードを振って、2 回目に同じダイスを振り、3 回目にスリーカードを振る確率は (6!/7776) x C(4, 1) x (100/1296) です。 x (1/216) = 0.01 パーセント。
• 2 回目にワンカード、​​スリーカードが一致し、3 回目に一致する確率は、(6!/7776) x C(4, 3) x (5/1296) x です。 (1/6) = 0.02 パーセント。
• 2 回目のロールでペアが一致し、3 回目のロールで別のペアが一致する確率は、(6!/7776) x C(4, 2) x (25/1296) x です。 (1/36) = 0.03 パーセント。

上記の確率をすべて合計して、サイコロを 3 回振ってヤッツィーが出る確率を決定します。この確率は 3.43% です。

合計確率

1 回のロールでヤッツィーが出る確率は 0.08%、2 回のロールでヤッツィーになる確率は 1.23%、3 回のロールでヤッツィーになる確率は 3.43% です。これらはそれぞれ相互に排他的であるため、確率を合計します。これは、特定のターンでヤッツィーを獲得する確率が約 4.74% であることを意味します。これを概観すると、1/21 は約 4.74% であるため、プレイヤーは偶然にも 21 ターンごとにヤッツィーを期待する必要があります。実際には、最初のペアが破棄されて他の何かに転がる可能性があるため、時間がかかる場合があります。 真っ直ぐ .