2 サンプル T 検定と信頼区間の例

スチューデントの t 分布の式。 C.K.テイラー

統計では、問題の解決例を見ると役立つ場合があります。これらの例は、同様の問題を解決するのに役立ちます。この記事では、2 つの母平均に関する結果に対して推論統計を実行するプロセスについて説明します。どのように実施するかを見るだけでなく、 仮説検定 2 つの母平均の差については、 信頼区間 この違いのために。私たちが使用する方法は、2 サンプル t 検定および 2 サンプル t 信頼区間と呼ばれることがあります。

問題の陳述

小学生の数学の適性をテストしたいとします。私たちが持つかもしれない1つの質問は、より高い学年レベルが平均テストスコアより高いかどうかです.

27 人の 3 年生の単純なランダム サンプルに数学のテストが与えられ、その回答が採点され、結果の平均スコアが 75 点であることがわかります。 サンプル標準偏差 3点の。

20 人の 5 年生の単純なランダム サンプルに同じ数学のテストが与えられ、その答えが採点されます。 5 年生の平均スコアは 84 点で、サンプル標準偏差は 5 点です。

このシナリオを前提として、次の質問をします。

• サンプル データは、5 年生全員の母集団の平均テスト スコアが 3 年生全員の母集団の平均テスト スコアを上回っているという証拠を提供してくれますか?
• 3 年生と 5 年生の母集団間の平均テスト スコアの差の 95% 信頼区間は?

条件と手続き

どの手順を使用するかを選択する必要があります。これを行う際に、この手順の条件が満たされていることを確認および確認する必要があります。 2 つの母平均を比較するよう求められます。これを行うために使用できるメソッドのコレクションの 1 つは、2 サンプル t 手順のメソッドです。

これらの t 手順を 2 つのサンプルに使用するには、次の条件が満たされていることを確認する必要があります。

• 対象の 2 つの母集団から 2 つの単純なランダム サンプルがあります。
• 私たちの単純な無作為標本は母集団の 5% を超えません。
• 2 つのサンプルは互いに独立しており、被験者間に一致はありません。
• 変数は正規分布しています。
• 両方の母集団について、母平均と標準偏差の両方が不明です。

これらの条件のほとんどが満たされていることがわかります。単純なランダムサンプルがあると言われました。これらの学年レベルには何百万人もの学生がいるため、私たちが勉強している人口は多いです。

自動的に想定できない条件は、テストの点数が正規分布している場合です。サンプルサイズが十分に大きいため、t 手順の堅牢性により、変数が正規分布する必要は必ずしもありません。

条件が満たされているので、いくつかの予備計算を実行します。

標準誤差

標準誤差は、標準偏差の推定値です。この統計では、サンプルのサンプル分散を追加し、平方根をとります。これにより、次の式が得られます。

( s ₁²/ n ₁+ s ₂²/ n ₂)^1/2

上記の値を使用すると、標準誤差の値は次のようになります。

(3²/ 27+ 5²/ 20）^1/2=(1 / 3 + 5 / 4 )^1/2= 1.2583

自由度

保守的な近似を使用できます 自由度 .これは自由度の数を過小評価する可能性がありますが、ウェルチの式を使用するよりもはるかに簡単に計算できます。 2 つのサンプル サイズのうち小さい方を使用し、この数値から 1 を引きます。

この例では、2 つのサンプルのうち小さい方が 20 です。これは、自由度の数が 20 - 1 = 19 であることを意味します。

仮説検定

5 年生の平均テスト スコアが 3 年生の平均スコアよりも高いという仮説を検証したいと思います。 μとする₁すべての 5 年生の人口の平均スコアになります。同様に、μ₂は、すべての 3 年生の母集団の平均スコアです。

仮説は次のとおりです。

• ひ₀: 分₁-メートル₂= 0
• ひ_a: 分₁-メートル₂> 0

検定統計量は、サンプル平均間の差であり、標準誤差で除算されます。サンプル標準偏差を使用して母集団標準偏差を推定しているため、検定統計量は t 分布から得られます。

検定統計量の値は (84 - 75)/1.2583 です。これは約 7.15 です。

次に、この仮説検定の p 値を決定します。検定統計量の値と、これが自由度 19 の t 分布のどこにあるかを調べます。この分布では、4.2 x 10^-7p値として。 (これを判断する 1 つの方法は、Excel で T.DIST.RT 関数を使用することです。)

p 値が非常に小さいため、帰無仮説を棄却します。結論としては、5 年生のテストの平均点は 3 年生のテストの平均点よりも高いということです。

信頼区間

平均スコア間に差があることを確認したので、これら 2 つの平均の差の信頼区間を決定します。必要なものはすでにたくさんあります。差の信頼区間には、推定値と誤差範囲の両方が必要です。

2 つの平均の差の推定値は、簡単に計算できます。サンプル平均の差を見つけるだけです。このサンプル平均の差は、母平均の差を推定します。

このデータでは、標本平均の差は 84 – 75 = 9 です。

誤差範囲の計算は少し難しくなります。このためには、適切な統計に標準誤差を掛ける必要があります。必要な統計は、表または統計ソフトウェアを調べて見つけます。

ここでも保守的な近似を使用すると、自由度は 19 になります。 95% 信頼区間では、t^*= 2.09。を使用できます ExceのT.INV関数 l でこの値を計算します。

すべてをまとめると、誤差範囲は 2.09 x 1.2583、つまり約 2.63 であることがわかります。信頼区間は 9 ± 2.63 です。 5年生と3年生が選択したテストでは、間隔は6.37から11.63ポイントです。