2 つの母集団比率の差の信頼区間

2 つの比率の差の信頼区間の式。 C.K.テイラー

信頼区間 の一部です 推測統計 .このトピックの背後にある基本的な考え方は、未知の母集団の値を推定することです パラメータ 統計サンプルを使用して。パラメータの値を推定できるだけでなく、関連する 2 つのパラメータの差を推定するためにメソッドを適応させることもできます。たとえば、女性の投票人口と比較して、特定の法案を支持する米国の男性の投票人口の割合の違いを見つけたい場合があります。

2 つの母集団比率の差の信頼区間を構築することにより、このタイプの計算を行う方法を見ていきます。その過程で、この計算の背後にある理論のいくつかを調べます。を構築する方法にいくつかの類似点があります。 単一の母比率の信頼区間 だけでなく 2 つの母平均の差の信頼区間 .

一般性

使用する特定の式を見る前に、このタイプの信頼区間が適合する全体的なフレームワークを考えてみましょう。これから検討する信頼区間の形式は、次の式で与えられます。

誤差の推定 +/- マージン

多くの信頼区間がこのタイプです。計算する必要がある 2 つの数値があります。これらの値の最初の値は、パラメーターの推定値です。 2 番目の値は許容誤差です。この誤差の範囲は、見積もりがあるという事実を説明しています.信頼区間は、未知のパラメーターの可能な値の範囲を提供します。

条件

計算を行う前に、すべての条件が満たされていることを確認する必要があります。 2 つの母集団比率の差の信頼区間を見つけるには、次のことが成り立つことを確認する必要があります。

• 私たちは2つ持っています 単純なランダム サンプル 大集団から。ここで「大きい」とは、母集団がサンプルのサイズの少なくとも 20 倍であることを意味します。サンプルサイズは n ₁と n ₂.
• 私たちの個人は、互いに独立して選択されています。
• 各サンプルには、少なくとも 10 回の成功と 10 回の失敗があります。

リストの最後の項目が満たされていない場合、これを回避する方法がある可能性があります。変更できます プラス 4 信頼区間 建設と取得 堅牢な結果 .先に進むときは、上記のすべての条件が満たされていることを前提としています。

サンプルと母集団の割合

これで、信頼区間を構築する準備が整いました。まず、母集団の比率の差を推定します。これらの母集団比率は両方とも、サンプル比率によって推定されます。これらのサンプル比率は、各サンプルの成功数をそれぞれのサンプル サイズで割ることによって得られる統計です。

最初の人口比率は次のように表されます。 p ₁.この母集団からのサンプルの成功数が k ₁の場合、サンプル比率は次のとおりです。 k ₁ /n _1.

この統計量を p^₁.この記号を「p」と読みます₁-hat' 記号 p のように見えるため₁上に帽子付き。

同様の方法で、2 番目の母集団からサンプル比率を計算できます。この母集団からのパラメータは p ₂.この母集団からのサンプルの成功数が k ₂、サンプル比率は p^₂ =k ₂ /n _2。

これら 2 つの統計は、信頼区間の最初の部分になります。の見積もり p ₁Pです₁.の見積もり p ₂Pです_2。したがって、差の見積もりは p ₁- p ₂Pです₁- p̂_2。

サンプル比率の差のサンプル分布

次に、許容誤差の公式を取得する必要があります。これを行うには、まず次のことを検討します。 標本分布 p^の₁.これは成功確率のある二項分布です p ₁と n ₁試練。この分布の平均は比率です。 p ₁.このタイプの確率変数の標準偏差には、次の分散があります。 p ₁(1 - p ₁)/ n ₁.

p^のサンプリング分布₂p^のそれに似ている₁.すべてのインデックスを 1 から 2 に変更するだけで、平均が p の二項分布が得られます。₂と分散 p ₂(1 - p ₂)/ n ₂.

p^のサンプリング分布を決定するために、数学的統計からのいくつかの結果が必要です₁- p̂₂.この分布の平均は p ₁- p ₂.分散が加算されるという事実により、サンプリング分布の分散が次のようになることがわかります。 p ₁(1 - p ₁)/ n ₁+ p ₂(1 - p ₂)/ n _2。分布の標準偏差は、この式の平方根です。

いくつかの調整が必要です。 1 つ目は、p^ の標準偏差の式₁- p̂₂の未知のパラメータを使用します p ₁と p ₂.もちろん、これらの値を本当に知っていれば、興味深い統計問題にはなりません。間の差を見積もる必要はありません。 p ₁と p _2..代わりに、正確な差を簡単に計算できます。

この問題は、標準偏差ではなく標準誤差を計算することで解決できます。母集団の比率をサンプルの比率に置き換えるだけです。標準誤差は、パラメータではなく統計に基づいて計算されます。標準誤差は、標準偏差を効果的に推定するので便利です。これが意味することは、パラメーターの値を知る必要がなくなったことです。 p ₁と p ₂. . これらの標本比率は既知であるため、標準誤差は次の式の平方根で与えられます。

p̂₁(1 - p^₁)/ n ₁+ p̂₂(1 - p^₂)/ n _2。

対処する必要がある 2 番目の項目は、サンプリング分布の特定の形式です。正規分布を使用して、p^ のサンプリング分布を近似できることがわかります。₁- p̂₂.この理由はやや技術的なものですが、次の段落で概説します。

両方 p^₁と p^₂二項の標本分布があります。これらの二項分布のそれぞれは、正規分布によって非常によく近似される場合があります。したがって p^₁- p̂₂確率変数です。これは、2 つの確率変数の線形結合として形成されます。これらのそれぞれは、正規分布によって近似されます。したがって、p^ のサンプリング分布₁- p̂₂も正規分布しています。

信頼区間式

これで、信頼区間を組み立てるために必要なものがすべて揃いました。推定値は (p^₁- p̂₂) であり、誤差範囲は次のとおりです。 と* [ p̂₁(1 - p^₁)/ n ₁+ p̂₂(1 - p^₂)/ n _2。]^0.5.入力する値 と* 信頼度によって決まる C. 一般的に使用される値 と* 信頼度 90% では 1.645、信頼度 95% では 1.96 です。これらの値 と* 標準正規分布の正確な部分を示します ハ 分布のパーセントは -と* と と*。

次の式は、2 つの母集団比率の差の信頼区間を示します。

(p^₁- p̂₂) +/- と* [ p̂₁(1 - p^₁)/ n ₁+ p̂₂(1 - p^₂)/ n _2。]^0.5