母分散の信頼区間の例

C.K.テイラー

母分散は、データセットがどのように分散するかを示します。残念ながら、この人口パラメータが何であるかを正確に知ることは通常不可能です。知識の不足を補うために、推論統計からのトピックを使用します。 信頼区間 .母分散の信頼区間を計算する方法の例を見ていきます。

信頼区間式

(1 - α) の式 母分散に関する信頼区間 .次の一連の不等式で与えられます。

[ ( n - 1) s ²] / B <σ² <[ ( n - 1) s ²] / あ .

ここ n はサンプルサイズ、 s ²は標本分散です。数字 あ は、カイ二乗分布の点です。 n 曲線の下の領域のちょうど α/2 が曲線の左側にある -1 自由度 あ .同様に、数は B は、曲線の下の領域の正確に α/2 を持つ同じカイ 2 乗分布のポイントであり、 B .

予選

10 個の値を持つデータセットから始めます。このデータ値のセットは、単純なランダム サンプルによって取得されました。

97, 75, 124, 106, 120, 131, 94, 97,96, 102

外れ値がないことを示すには、いくつかの探索的データ分析が必要です。を構築することにより、 幹と葉のプロット このデータは、ほぼ正規分布の分布からのものである可能性が高いことがわかります。これは、母分散の 95% 信頼区間を見つけることを続行できることを意味します。

サンプル分散

で表されるサンプル分散で母分散を推定する必要があります。 s ².したがって、この統計を計算することから始めます。基本的に、 二乗偏差の合計 平均から。ただし、この合計を で割るのではなく、 n で割る n - 1.

サンプル平均は 104.2 であることがわかります。これを使用すると、次の式で与えられる平均からの偏差の二乗和が得られます。

(97 – 104.2)²+ (75 – 104.3)²+ . . . + (96 – 104.2)²+ (102 – 104.2)²= 2495.6

この合計を 10 – 1 = 9 で割り、277 の標本分散を取得します。

カイ二乗分布

次に、カイ二乗分布に目を向けます。 10 個のデータ値があるため、9 個のデータ値があります。 自由度 .分布の中央の 95% が必要なので、2 つの裾のそれぞれに 2.5% が必要です。カイ二乗表またはソフトウェアを調べて、表の値 2.7004 と 19.023 が分布の面積の 95% を囲んでいることを確認します。これらの数字は あ と B 、 それぞれ。

必要なものがすべて揃ったので、信頼区間を組み立てる準備が整いました。左エンドポイントの式は [ ( n - 1) s ²] / B .これは、左のエンドポイントが次のことを意味します。

(9 × 277)/19.023 = 133

適切なエンドポイントは、置き換えることによって見つかります B と あ :

(9 × 277)/2.7004 = 923

したがって、母分散が 133 から 923 の間にあることは 95% の確信があります。

人口標準偏差

もちろん、標準偏差は分散の平方根であるため、この方法を使用して母集団の標準偏差の信頼区間を構築できます。エンドポイントの平方根を取るだけです。結果は、 標準偏差 .