平均絶対偏差の計算

C.K.テイラー

統計には広がりや分散の測定値が多数あります。しかし、 範囲 と 標準偏差 が最も一般的に使用されますが、分散を定量化する方法は他にもあります。データセットの平均絶対偏差を計算する方法を見ていきます。

意味

平均絶対偏差とも呼ばれる平均絶対偏差の定義から始めます。この記事で表示される式は、平均絶対偏差の正式な定義です。この式を、統計を取得するために使用できるプロセスまたは一連のステップと見なす方が理にかなっている場合があります。

1. から始めます 平均、または中心の測定 、データセットの メートル。
2. 次に、各データ値がどれだけずれているかを調べます。 メートル。 これは、各データ値と メートル。
3. この後、 絶対値 前のステップからのそれぞれの違い。言い換えれば、すべての違いについて負の符号を削除します。これを行う理由は、からの正と負の偏差があるためです。 メートル。 負の符号を排除する方法を見つけ出さないと、すべての偏差を足し合わせると、すべての偏差が相殺されます。
4. ここで、これらの絶対値をすべて加算します。
5. 最後に、この合計を n 、これはデータ値の総数です。結果は、平均絶対偏差です。

バリエーション

上記のプロセスにはいくつかのバリエーションがあります。正確に何を指定していないことに注意してください メートル は。この理由は、さまざまな統計を使用できるためです。 メートル。 通常、これはデータセットの中心であるため、中心傾向の測定値のいずれかを使用できます。

データセットの中心の最も一般的な統計的測定値は平均です。 中央値 そしてモード。したがって、これらのいずれかを次のように使用できます。 メートル 平均絶対偏差の計算で。これが、平均についての平均絶対偏差または中央値についての平均絶対偏差を参照するのが一般的である理由です。この例をいくつか見ていきます。

例: 平均に関する平均絶対偏差

次のデータセットから始めるとします。

1、2、2、3、5、7、7、7、7、9。

このデータ セットの平均値は 5 です。次の表は、平均値に関する平均絶対偏差を計算する作業をまとめたものです。

データ値	平均からの偏差	偏差の絶対値
1	1 - 5 = -4	|-4| = 4
2	2 - 5 = -3	|-3| = 3
2	2 - 5 = -3	|-3| = 3
3	3 - 5 = -2	|-2| = 2
5	5 - 5 = 0	|0| = 0
7	7 - 5 = 2	|2| = 2
7	7 - 5 = 2	|2| = 2
7	7 - 5 = 2	|2| = 2
7	7 - 5 = 2	|2| = 2
9	9 - 5 = 4	|4| = 4
	絶対偏差の合計:	24

合計 10 個のデータ値があるため、この合計を 10 で割ります。平均値に対する平均絶対偏差は 24/10 = 2.4 です。

例: 平均に関する平均絶対偏差

ここで、別のデータセットから始めます。

1、1、4、5、5、5、5、7、7、10。

前のデータ セットと同様に、このデータ セットの平均は 5 です。

データ値	平均からの偏差	偏差の絶対値
1	1 - 5 = -4	|-4| = 4
1	1 - 5 = -4	|-4| = 4
4	4 - 5 = -1	|-1| = 1
5	5 - 5 = 0	|0| = 0
5	5 - 5 = 0	|0| = 0
5	5 - 5 = 0	|0| = 0
5	5 - 5 = 0	|0| = 0
7	7 - 5 = 2	|2| = 2
7	7 - 5 = 2	|2| = 2
10	10 - 5 = 5	|5| = 5
	絶対偏差の合計:	18

したがって、平均値に対する平均絶対偏差は 18/10 = 1.8 です。この結果を最初の例と比較します。これらの各例の平均は同じでしたが、最初の例のデータはより分散していました。これらの 2 つの例から、最初の例の平均絶対偏差が 2 番目の例の平均絶対偏差よりも大きいことがわかります。平均絶対偏差が大きいほど、データの分散が大きくなります。

例: 中央値に関する平均絶対偏差

最初の例と同じデータセットから始めます。

1、2、2、3、5、7、7、7、7、9。

データセットの中央値は 6 です。次の表に、中央値に関する平均絶対偏差の計算の詳細を示します。

データ値	中央値からの偏差	偏差の絶対値
1	1 - 6 = -5	|-5| = 5
2	2 - 6 = -4	|-4| = 4
2	2 - 6 = -4	|-4| = 4
3	3 - 6 = -3	|-3| = 3
5	5 - 6 = -1	|-1| = 1
7	7 - 6 = 1	|1| = 1
7	7 - 6 = 1	|1| = 1
7	7 - 6 = 1	|1| = 1
7	7 - 6 = 1	|1| = 1
9	9 - 6 = 3	|3| = 3
	絶対偏差の合計:	24

再び合計を 10 で割り、中央値に関する平均偏差を 24/10 = 2.4 として取得します。

例: 中央値に関する平均絶対偏差

前と同じデータセットから始めます。

1、2、2、3、5、7、7、7、7、9。

今回は、このデータ セットの最頻値が 7 であることがわかりました。次の表に、最頻値に関する平均絶対偏差の計算の詳細を示します。

データ	モードからの偏差	偏差の絶対値
1	1 - 7 = -6	|-5| = 6
2	2 - 7 = -5	|-5| = 5
2	2 - 7 = -5	|-5| = 5
3	3 - 7 = -4	|-4| = 4
5	5 - 7 = -2	|-2| = 2
7	7 - 7 = 0	|0| = 0
7	7 - 7 = 0	|0| = 0
7	7 - 7 = 0	|0| = 0
7	7 - 7 = 0	|0| = 0
9	9 - 7 = 2	|2| = 2
	絶対偏差の合計:	22

絶対偏差の合計を割ると、22/10 = 2.2 のモードについて平均絶対偏差があることがわかります。

速い事実

平均絶対偏差に関するいくつかの基本的な特性があります

• 中央値に関する平均絶対偏差は、常に平均に関する平均絶対偏差以下です。
• 標準偏差は、平均値に対する平均絶対偏差以上です。
• 平均絶対偏差は、MAD と省略されることもあります。残念ながら、MAD は中央値の絶対偏差を参照する場合があるため、あいまいな場合があります。
• 正規分布の平均絶対偏差は、標準偏差の約 0.8 倍です。

一般的な用途

平均絶対偏差にはいくつかの用途があります。最初のアプリケーションは、この統計を使用して、その背後にあるいくつかのアイデアを教えることができるということです。 標準偏差 .平均値に関する平均絶対偏差は、標準偏差よりもはるかに簡単に計算できます。偏差を二乗する必要はなく、計算の最後に平方根を見つける必要もありません。さらに、平均絶対偏差は、標準偏差よりも直感的にデータセットの広がりに関連しています。これが、標準偏差を導入する前に、平均絶対偏差が最初に教えられることがある理由です。

標準偏差を平均絶対偏差に置き換えるべきだとまで主張する人もいます。標準偏差は科学的および数学的なアプリケーションにとって重要ですが、平均絶対偏差ほど直感的ではありません。日常的なアプリケーションでは、平均絶対偏差は、データがどのように分散しているかを測定するためのより具体的な方法です。