統計におけるモーメントとは

思いやりのある目/財団/ロバート・デイリー/OJO画像/ゲッティイメージズ

数学的統計の瞬間には、基本的な計算が含まれます。これらの計算を使用して、確率分布の平均、分散、および歪度を見つけることができます。

合計のデータセットがあるとします。 n 離散 ポイント。実際にはいくつかの数である重要な計算の 1 つは、 s 瞬間。の s 値を持つデータセットの次のモーメント バツ ₁、 バツ ₂、 バツ ₃、 ... 、 バツ_n は次の式で与えられます。

( バツ ₁ ^s + バツ ₂ ^s + バツ ₃ ^s + ... + バツ_n^s )/ n

この式を使用するには、操作の順序に注意する必要があります。最初に指数を計算し、加算してから、この合計を で割る必要があります。 n データ値の総数。

「瞬間」という言葉について

用語 一瞬 物理学から取られた。物理学では、点質量のシステムのモーメントは上記と同じ式で計算され、この式は点の重心を見つけるのに使用されます。統計では、値はもはや質量ではありませんが、これから説明するように、統計のモーメントは依然として値の中心に相対的な何かを測定します。

最初の瞬間

最初の瞬間、私たちは設定しました s = 1. したがって、最初のモーメントの式は次のようになります。

( バツ ₁バツ₂+ バツ ₃+ ... + バツ_n )/ n

これは、サンプルの式と同じです 平均 .

値 1、3、6、10 の最初のモーメントは (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5 です。

セカンドモーメント

設定した 2 番目の瞬間 s = 2. 2 番目のモーメントの式は次のとおりです。

( バツ ₁²+ バツ ₂²+ バツ ₃²+ ... + バツ_n ²)/ n

値 1、3、6、10 の 2 次モーメントは (1²+ 3²+ 6²+ 10²) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5。

三度目の瞬間

設定した 3 番目の瞬間 s = 3. 3 番目のモーメントの式は次のとおりです。

( バツ ₁³+ バツ ₂³+ バツ ₃³+ ... + バツ_n ³)/ n

値 1、3、6、10 の 3 次モーメントは (1³+ 3³+ 6³+ 10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.

より高いモーメントも同様の方法で計算できます。交換するだけ s 上記の式で、数字は目的の瞬間を示します。

平均についての瞬間

関連するアイデアは、 s 平均についての瞬間。この計算では、次の手順を実行します。

1. まず、値の平均を計算します。
2. 次に、この平均を各値から引きます。
3. 次に、これらの各違いを次のように上げます。 s 番目の力。
4. ステップ 3 の数字を合計します。
5. 最後に、この合計を最初の値の数で割ります。

の式 s 平均についての瞬間 メートル 値の値 バツ ₁、 バツ ₂、 バツ ₃、...、 バツ_n によって与えられます：

メートル_s = (( バツ ₁- メートル ) ^s + ( バツ ₂- メートル ) ^s + ( バツ ₃- メートル ) ^s + ... + ( バツ_n - メートル ) ^s )/ n

平均についての最初の瞬間

平均に関する最初の瞬間は、使用しているデータ セットが何であれ、常にゼロに等しくなります。これは、次のように見ることができます。

メートル ₁= (( バツ ₁- メートル ) + ( バツ ₂- メートル ) + ( バツ ₃- メートル ) + ... + ( バツ_n - メートル ))/ n = (( バツ ₁+ バツ ₂+ バツ ₃+ ... + バツ_n ) - nm )/ n = メートル - メートル = 0。

平均についての 2 番目の瞬間

平均に関する 2 次モーメントは、上記の式から次のように設定して取得されます。 s = 2:

メートル ₂= (( バツ ₁- メートル )²+ ( バツ ₂- メートル )²+ ( バツ ₃- メートル )²+ ... + ( バツ_n - メートル )²)/ n

この式は、標本分散の式と同じです。

たとえば、セット 1、3、6、10 を考えてみましょう。このセットの平均は既に 5 と計算されています。これを各データ値から差し引いて、次の差を取得します。

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6 – 5 = 1
• 10 – 5 = 5

これらの値をそれぞれ 2 乗して加算します: (-4)²+ (-2)²+ 1²+ 5²= 16 + 4 + 1 + 25 = 46. 最後に、この数値をデータ ポイントの数で割ります: 46/4 = 11.5

モーメントの応用

前述のように、最初のモーメントは平均であり、平均に関する 2 番目のモーメントはサンプルです。分散. Karl Pearson は、計算における平均に関する 3 次モーメントの使用を導入しました。 歪度 の計算における平均に関する 4 番目のモーメント 尖度 .