二項分布の正規近似

マット・カーディ/ゲッティイメージズ

二項分布の確率変数 は離散的であることが知られています。これは、二項分布で発生する可能性のある結果が数え切れないほどあり、これらの結果が分離されていることを意味します。たとえば、二項変数は 3 または 4 の値を取ることができますが、3 から 4 の間の数値を取ることはできません。

二項分布の離散特性により、連続確率変数を使用して二項分布を近似できることは、やや驚くべきことです。多くの人にとって 二項分布 、正規分布を使用して二項確率を近似できます。

これは見てみるとわかります n コイントスとレッティング バツ 頭の数になります。この状況では、成功確率が次のような二項分布があります。 p = 0.5。トスの回数を増やすと、確率が ヒストグラム ますます正規分布に似てきます。

正規近似のステートメント

すべての正規分布は、2 によって完全に定義されます。 実数 .これらの数値は、分布の中心を測定する平均値です。 標準偏差 、分布の広がりを測定します。特定の二項状況では、どの正規分布を使用するかを決定できる必要があります。

正しい正規分布の選択は、試行回数によって決まります n 二項設定と一定の成功確率 p これらの試行のそれぞれについて。二項変数の正規近似は、 例えば と標準偏差 ( 例えば (1 - p )^0.5.

たとえば、多肢選択式テストの 100 の質問のそれぞれについて推測したとします。各質問には 4 つの選択肢から 1 つの正解がありました。正解数 バツ は次の二項確率変数です。 n = 100 および p = 0.25。したがって、この確率変数の平均は 100(0.25) = 25 で、標準偏差は (100(0.25)(0.75)) です。^0.5= 4.33。平均が 25 で標準偏差が 4.33 の正規分布は、この二項分布を近似するために機能します。

近似が適切なのはいつですか?

いくつかの数学を使用して、正規近似を使用する必要があるいくつかの条件があることを示すことができます 二項分布 .観測数 n 十分に大きくなければならず、値 p 両方のように 例えば と n (1 - p ) は 10 以上です。これは経験則であり、統計の実践に基づいています。正規近似はいつでも使用できますが、これらの条件が満たされない場合、近似は適切な近似ではない可能性があります。

たとえば、 n = 100 および p = 0.25 の場合、通常の近似を使用することが正当化されます。それの訳は 例えば = 25 および n (1 - p ) = 75. これらの数値は両方とも 10 より大きいため、適切な正規分布は二項確率の推定にかなり適しています。

近似を使用する理由

二項確率は、二項係数を見つけるための非常に簡単な式を使用して計算されます。残念ながら、 階乗 式では、 二項式 方式。正規近似を使用すると、標準正規分布の値のテーブルである親しみやすい友人を使用して作業することで、これらの問題を回避できます。

多くの場合、二項確率変数が値の範囲内に収まる確率の決定は、計算が面倒です。これは、二項変数が バツ が 3 より大きく 10 より小さい場合、次の確率を求める必要があります。 バツ は 4、5、6、7、8、9 に等しく、これらの確率をすべて加算します。正規近似を使用できる場合は、代わりに 3 と 10 に対応する Z スコアを決定し、確率の Z スコア テーブルを使用する必要があります。 標準正規分布 .