標準偏差の範囲ルール

C.K.テイラー/ゲッティイメージズ

標準偏差と範囲はどちらも データセットの広がり .それぞれの数値は、どちらも変動の尺度であるため、データの間隔を独自の方法で示します。の間に明確な関係はありませんが、 範囲と標準偏差 、ある経験則これは、これら 2 つの統計を関連付けるのに役立ちます。この関係は、標準偏差の範囲ルールと呼ばれることもあります。

範囲ルールは、サンプルの標準偏差がデータの範囲の約 4 分の 1 に等しいことを示しています。言い換えると s = (最大 – 最小)/4 .これは非常に簡単に使用できる式であり、大まかな目安としてのみ使用してください。 標準偏差の推定値 .

例

範囲ルールがどのように機能するかの例を見るために、次の例を見ていきます。 12、12、14、15、16、18、18、20、20、25 のデータ値から始めるとします。これらの値には 平均 約 17 で、標準偏差は約 4.1 です。代わりに、最初にデータの範囲を 25 – 12 = 13 として計算し、次にこの数値を 4 で割ると、標準偏差の推定値は 13/4 = 3.25 になります。この数値は真の標準偏差に比較的近く、概算に適しています。

なぜ機能するのですか？

範囲ルールは少し奇妙に思えるかもしれません。なぜ機能するのですか？範囲を 4 で割るだけで完全に恣意的に思えませんか?なぜ別の数で割らないのでしょうか?実際には、舞台裏で数学的な正当化が行われています。

のプロパティを思い出してください。 釣鐘曲線 からの確率 標準正規分布 . 1 つの機能は、特定の数の標準偏差内に収まるデータの量に関係しています。

• データの約 68% が、平均値から 1 標準偏差 (上下) 以内にあります。
• データの約 95% は、平均から 2 標準偏差 (上下) 以内にあります。
• 約 99% は、平均から 3 標準偏差 (上下) 以内です。

使用する数値は 95% に関係しています。平均より 2 標準偏差下から平均より 2 標準偏差上までの 95% で、データの 95% があると言えます。したがって、正規分布のほぼすべてが、合計 4 標準偏差の長さの線分にまたがることになります。

すべてのデータが正規分布していて、ベル カーブの形をしているわけではありません。しかし、ほとんどのデータは、平均値から 2 標準偏差離れていればほぼすべてのデータを取得できるほど適切に動作しています。標準偏差の 4 倍がほぼ範囲のサイズであると見積もっています。そのため、範囲を 4 で割った値が標準偏差のおおよその近似値です。

範囲規則の用途

範囲ルールは、多くの設定で役立ちます。まず、標準偏差の非常に迅速な推定値です。標準偏差では、最初に平均を求め、次に各データ ポイントからこの平均を引き、差を二乗し、これらを足し、データ ポイントの数よりも 1 少ない数で割り、(最後に) 平方根を取る必要があります。一方、範囲規則では、1 つの減算と 1 つの除算しか必要ありません。

範囲ルールが役立つその他の場所は、情報が不完全な場合です。サンプル サイズを決定するような式には、次の 3 つの情報が必要です。 誤差の範囲 、 信頼度 調査している母集団の標準偏差。多くの場合、人口が何人かを知ることは不可能です 標準偏差 は。範囲ルールを使用して、この統計を推定し、サンプルをどれくらい大きくする必要があるかを知ることができます。